第三章 多维随机变量及其分布一、教材说明本章内容包括：多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数，随机变量的独立性概念，条件分布与条件期望。

本章仿照一维随机变量的研究思路和方法。

1、教学目的与教学要求 本章的教学目的是：（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量 的独立性概念；（2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数； （3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望。

本章的教学要求是： （1）深刻理解多维随机变量及其联合分布的概念，会熟练地求多维离散随机变量的联合分布列和多维连续随机变量的联合密度函数，并熟练掌握几种常见的多维分布；（2）深刻理解并掌握边际分布的概念，能熟练求解边际分布列和边际密度函数；理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法； （3）熟练掌握多维随机变量的几种函数的分布的求法，会用变量变换法求解、证明题目； （4）理解并掌握多维随机变量的数学期望和方差的概念及性质，掌握随机变量不相关与独立性的关系； （5）深刻理解条件分布与条件期望，能熟练求解条件分布与条件期望并会用条件分布与条件期望的性质求解、证明题目。

2、本章的重点与难点本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数，难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法。

二、教学内容本章共分多维随机变量及其联合分布、边际分布与随机变量的独立性、多维随机变量函数的分布、多维随机变量的特征数、条件分布与条件期望等5节来讲述本章的基本内容。

3.1 多维随机变量及其联合分布一、多维随机变量定义3.1.1 如果12(),(),,()n X X X ωωω⋅⋅⋅是定义在同一个样本空间{}ωΩ=上的n 个随机变量，则称1()((),...,())n X X X ωωω=为n 维随机变量或随机向量。

二、联合分布函数1、定义3.1.2 对任意n 个实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，则n 个事件1122{},{},,{}n n X x X x X x ≤≤⋅⋅⋅≤同时发生的概率 121122(,,,){,,,}n n n F x x x P X x X x X x ⋅⋅⋅=≤≤⋅⋅⋅≤称为n 维随机变量12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅的联合分布函数。

2、性质定理 3.1.1 任一二维联合分布函数(,)F x y 必具有如下四条基本性质： （1） 单调性：(,)F x y 分别对x 或y 是单调不减的，即当12x x <时有12(,)(,)F x y F x y ≤；当12y y <时有12(,)(,)F x y F x y ≤。

（2） 有界性：对任意的x 和y ，有0(,)1F x y ≤≤，且,(,)lim (,)0,(,)lim (,)0,(,)lim (,)1,x y x y F y F x y F x F x y F F x y →-∞→-∞→+∞-∞==-∞==+∞+∞==（3） 右连续性 对每个变量都是右连续的，即(0,)(,),(,0)(,)F x y F x y F x y F x y +=+=。

（4） 非负性 对任意的,a b c d <<有(,)(,)(,)(,)(,)0P a x b c Y d F b d F a d F b c F a c <≤<≤=--+≥证明 仿一维分布函数的性质的证明，此处略。

注 任一二维联合分布函数(,)F x y 必具有以上四条基本性质；还可证明具有以上性质的二元函数(,)F x y 一定是某个二维随机变量的分布函数。

例3.1.1 证明二元函数 0,0;(,)1,0.x y G x y x y +<⎧=⎨+≥⎩满足二维分布函数的性质（1）（2）（3），但它不满足性质（4），故不是分布函数。

分析：证明某二元函数是二维分布函数需验证满足二维分布函数的性质（1）（2）（3）（4），若证不是二维分布函数只需验证其中一条性质不满足即可。

证明：略。

三、 联合分布列1、定义3.1.3 如果二维随机变量(,)X Y 只取有限个或可列个数对(,)i j x y ，则称(,)X Y 为二维离散随机变量，称(,),,1,2,ij i j p P X x Y y i j ====⋅⋅⋅为(,)X Y 的联合分布列。

还可以用书135页的表格形式记联合分布列。

2、联合分布列的基本性质： （1）非负性 0;ij p ≥（2）正则性111.iji j p+∞+∞===∑∑例3.1.2 从1，2，3，4中任取一数记为X ，再从1，…，X 中任取一数记为Y ，求(,)X Y 的联合分布列及()P X Y =。

分析：求二维离散随机变量的联合分布列，关键是写出二维离散随机变量可能取的数对及其发生的概率。

解：略。

四、 联合密度函数1、定义3.1.4 如果存在二元非负函数(,)p x y ，使得二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)F x y 可表示为(,)(,),xyF x y p u v dvdu -∞-∞=⎰⎰则称(,)X Y 为二维连续随机变量，称(,)p u v 为(,)X Y 的联合密度函数。

注 在偏导数存在的点上，有2(,)(,)p x y F x y x y∂=∂∂。

2、 联合密度函数的基本性质 （1）非负性(,)0;p u v ≥（2）正则性 (,) 1.p u v +∞+∞-∞-∞=⎰⎰注 可求概率((,))(,),GP X Y G p x y dxdy ∈=⎰⎰具体使用左式时，积分范围是(,)p x y 的非零区域与G 的交集部分，然后设法化成累次积分再计算出结果。

例3.1.3 设（X ，Y ）的联合密度函数为 236,0,0;(,)0,.x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他求（1）(11)P X Y <>，；（2）()P X Y >。

解 略五、 常用多维分布 1、多项分布进行n 次独立重复试验，如果每次试验有r 个可能结果：12,,,,r A A A ⋅⋅⋅且每次试验中i A 发生的概率为12(),1,2,,;1;i i r p P A i r p p p ==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=记i X 为n 次独立重复试验中i A 出现的次数，1,2,,i r =⋅⋅⋅。

则12(,,,)r X X X ⋅⋅⋅取值12(,,,)r n n n ⋅⋅⋅的概率，即A 出现1n 次，2A 出现2n 次，……，r A 出现r n 次的概率为1211221212!(,,,),!!!r n n n r r r r n P X n X n X n p p p n n n ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中12.r n n n n =++⋅⋅⋅+这个联合分布列称为r 项分布，又称为多项分布，记为12(,,,,).r M n p p p ⋅⋅⋅例3.1.4 一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。

从这批产品中有放回地任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布列。

分析 略。

解 略。

2、多维超几何分布多维超几何分布的描述：袋中有N 只球，其中有i N 只i 号球，1,2,,i r =⋅⋅⋅。

记12r N N N N =++⋅⋅⋅+，从中任意取出n 只，若记i X 为取出的n 只球中i 号球的个数，1,2,,i r =⋅⋅⋅，则12121122(,,).r r r r N N N n n nP X n X n X n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⋅⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭其中12r n n n n ++⋅⋅⋅+=。

例3.1.5 将例3.1.4改成不放回抽样，即从这批产品中不放回地任取3件，以X 和Y 分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布列。

解 略。

3、多维均匀分布设D 为nR 中的一个有界区域，其度量为D S ，如果多维随机变量12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅的联合密度函数为12121,(,,,),(,,,)0,n Dn x x x D S p x x x ⎧⋅⋅⋅∈⎪⋅⋅⋅=⎨⎪⎩其他 则称12(,,,)n X X X ⋅⋅⋅服从D 上的多维均匀分布，记为12(,,,)~).n X X X UD ⋅⋅⋅（ 例3.1.6 设D 为平面上以原点为圆心以r 为半径的圆，(,)X Y 服从D 上的二维均匀分布，其密度函数为22222221,,(,)0,.x y r p x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩试求概率().2r P X ≤解 略。

4、二元正态分布如果二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为2211222221122()()()()1(,)[2]},,2(1)x x y y p x y x y μμμμρρσσσσ----=--+-∞<<+∞-则称(,)X Y 服从二维正态分布，记为221212(,)~(,,,,).X Y N μμσσρ其中五个参数的取值范围分别是：1212,;,0;1 1.μμσσρ-∞<<+∞>-<<以后将指出：12,μμ分别是X 与Y 的均值，2212,σσ分别是X 与Y 的方差，ρ是X 与Y 的相关系数。

例3.1.7 设二维随机变量221212(,)~(,,,,).X Y N μμσσρ求(,)X Y 落在区域2221122221122()()()(){(,):2}x x y y D x y μμμμρλσσσσ----=-+≤内的概率。

解 略。

注 凡是与正态分布有关的计算一般需要作变换简化计算。

3.2 边际分布与随机变量的独立性一、边际分布函数1、二维随机变量(,)X Y 中X 的边际分布 ()()(,)lim (,)(,)X y F x P X x P X x Y F x y F x →+∞=≤=≤<+∞==+∞Y 的边际分布 ()(,)Y F y F y =+∞2、在三维随机变量(,,)X Y Z 的联合分布函数(,,)F x y z 中，用类似的方法可得到更多的边际分布函数。

例3.2.1设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为1,0,0,(,)0,x y x y xy e e e x y F x y λ-----⎧--+>>=⎨⎩其他这个分布被称为二维指数分布，求其边际分布。

解 略。

注 X 与Y 的边际分布都是一维指数分布，且与参数0λ>无关。

不同的0λ>对应不同的二维指数分布，但它们的两个边际分布不变，这说明边际分布不能唯一确定联合分布。