(1 ) EF ( ρ) = min ∑ pi E( Ψi ) ρ = ∑ pi Ψi Ψi i i
很明显 由于成员纯态可被有效渐进建立然后混合 知道 一次构成纠缠是否有累加性 即是否有 此量至少于构成纠缠一样大 尚不
(1 ) (1) (1) EF ( ρ1 ⊗ ρ2 ) = E F ( ρ1 ) + E F ( ρ2 )
S ( ρ || ρ′) = Tr ( ρ(log ρ − log ρ′))
进一步 有一种测量可渐进达到此限制 若状态 的 m 个拷贝可纯化为 n 个 EPR 对 从 不可分离状态中识别这 n 个 EPR 对的概率不会大于从不可分离状态中识别原始状态 的 m 个拷贝的概率 纯化可作为这种测试的第一部分 通过投影到 EPR 状态 从未纠缠态 中识别 EPR 对 我们发现未纠缠态通过此测试的概率最多为 2-n 这说明 纠 缠 的 相 对 熵 是 可 提 取 纠 缠 量 的 上 界 Werner 态的 ERE =1-H2 (F) 更一般的 贝尔对角态的 E RE =1-H2( ) 其中 是密度矩阵的最大特征值 Rains 证明 用其它不同的方法获得的同样的贝尔对角 态可提取纠缠的限制 涉及权重枚举子 weight enumerators E RE 是贝尔对角态的可提 取纠缠的最佳已知上界 且实际上精确给出了两个贝尔态混合的可提取纠缠 正如前面提到的 要 从 Werner 态 或 其 它 纠 缠 混 合 态 中 提 取 好 的 EPR 对 的 原 因 是 为 了 使 用 有 噪 量 子 信 道 进 行 可 靠 的 量 子 通 信 给定一去极化信道 Alice 和 Bob 可用它 build up a supply of Werner 态 从中提取一些好的 EPR 对 再使用这些 EPR 对 连接经 典通信以从 Alice 到 Bob 或相反 转运所需量子信息 尽管并没有直接的无噪量子信道 且有噪量子信道的噪声也过于强烈 不能被量子纠错码补救
ρiA 和 ρiB 就可被局域准备 另一方面 纠缠
态的准备要求 Alice 和 Bob 要么分享一些原先存在的纠缠 要么通过在它们间传输量子态 获得纠缠 不易确定给定密度矩阵是否具有非零纠缠 特别是若 Alice 和 Bob 均与高于 2 维的 Hilbert 空间有关时 以后我们还要讨论有关此问题的一个测试 不过 我们首先还 是讨论纠缠的测量 纠缠的熵 若 ρ AB 是纯态 即 一秩矩阵 Ψ AB 所希望的属性 此即纠缠的熵
若它是累加性的 它必须与构成纠缠的渐进定义保持一致 Hill 和 Wootters 已获得任意 两量子比特状态的一次构成纠缠的精确表达式 3 为说明如何可从部分纠缠混合态中提取纯 EPR 对 我们首先定义一种特别简单的两 量子比特耦混合态 即所谓的 Werner 态 它可视为部分去极化的 EPR 对 F 保真度 Werner 态 记为 WF 是 F 个部分正则贝尔态 不失一般性 状态 Φ + = 个部分其它三个贝尔态的混合 即
1 2
( 00 + 11 ) 和(1-F)/3
W F = F Ψ + Ψ + + (1 − F ) / 3( Ψ− Ψ − + Ψ + Ψ + + Ψ − Ψ − )
当 F =1-3p/4 1/4 p-去极化信道和 Werner 态等价 Werner 态 WF 可通过用 p-去极化信道 传输理想 对产生 相反 p- 去极化信道可通过 用 Werner 态 WF 代替转运协议 teleportation protocol 中需要的理想 EPR 对的 转运产生 这种简单关系对其它不对 称的信道和混合态不成立
４
纠缠
量子纠缠理论
1999 年 11 月 22 日
纠缠对量子力学中信息的特殊行为具有很大影响 由必要找到一种纠缠的量化方法 在本节中我们要讨论几种这样的测量方法 有一种用熵定义的纯态纠缠的 最好的 测 量法 不过 对混合态的纠缠看来并没有最佳测量 哪种测量是最佳的取决于这种测量 要用于什么 我们将讨论几种测量 对纯态它们是一致的 设 Alice 和 Bob 各持有系统的一部分 处于某量子态 很容易定义何时两部分发生 了纠缠 全系统状态不是张量积状态的混合时 严格的 系统是纠缠的当且仅当其密度 矩阵不能写为如下形式
ρ AB = ∑ p i ρi A ⊗ ρiB
i
其中 ρiA 和 ρiB 是 Alice 和 Bob 的子系统的状态 pi 是概率 任何未纠缠状态可由 Alice 和 Bob 仅使用局域量子态准备 local quantum-state preparation 和经典通信产生 首先它 们以概率 pi 选择索引 i 无须进一步通信
E RE ( ρ) = min{ Tr ( ρ log ρ − ρ log ρ′) | 无纠缠ρ′}
对所有无纠缠状态 ' 取最小 为理解为什么这就是可提取纠缠的限制 我们需要引入 Sanov 定理的量子对应 Sanov 定理说明了两个概率分布的以相对熵表示的可辨别性 量 子 Sanov 定理说明 把量子态 ' 的 m 个拷贝误认为 的 m 个拷贝的概率至少为 2- mS( || ') 其中相对熵
Ψ AB
有一种独特的纠缠测量方法 它具有
E (Ψ AB ) = S TrB ρ AB = S Tr A ρ AB
(
) (
)
这是忽略 Bob 或 Alice 的子系统时获得混合态的 von Neumann 熵 为什么这是正确的定 义 为回答该问题 我们首先需要确定好的纠缠测量方法应具有什么样的属性 若纠缠 是一种资源 Alice 和 Bob 应该不能通过只涉及它们和局域量子运算间的经典通信的运算 增加它们的纠缠 理想的情况是 若我们有两个状态 1 和 2 分别有纠缠 E 1 和 E 2 且 E 1 E 2 我们总可以只使用局域量子运算和经典通信从第一个状态达到第二个状态 对 此虽然还有很多疑问 对此理想情况的一种渐进是 1 和 2 都是纯态 对任意两个纯耦 bipartite 态 和 ' 由于我们只考虑耦态 忽略上标 AB n 趋向无穷大时 的n 个独立的拷贝 或者说状态 Ψ ⊗ n 可用局域方法和经典通信变换为任意接近 Ψ ′ ⊗ n ′ 的状
EPR 对 很容易检查 Alice 和 Bob 是否都异或其两个理想 态的一半 如图 6 这称为 双边异或运算 它们获得两个新的 态 更一般的 若 Alice 和 Bob 一起双边异或任 意贝尔态 结果也将是两个以一种简单可逆方式依赖于初始贝尔态的贝尔态 源贝尔态 的幅度比特异或为目标幅度比特 目标相位比特异或为源相位比特 源幅度比特和目标 相位比特保持不变 设 Alice 和 Bob 分享两个 Werner 态 当这些半态 halves 一起异 或 若每个 EPR 态都不是理想的 即 不是 态 不纯性会在输出对中扩散 一个结 果对 目标对 可依据标准基测量 并比较结果看是否一致 若输入对是好的 态 结 果相等 这样破坏了被测量的对 但却可以知道留下的未被测量的对是否是好的 若测 量结果一致 Alice 和 Bob 保留其它的对 若不一致 丢弃这些对 易知此过程的一阶效 率 first-order efficiency 异或两个 Werner 对 初始保真度为 1对小 每一输出 保真度近似为 1-2 现在 当两个非纯 EPR 对之一被检查 测量过程获得三个可能的 ― ― 贝尔态错误 中的两个 使未测量对以约 1-2 /3 保真度处于某态(in a state) 详细进行此计算后 我们发现 若初始保真度优于 50% 该过程增加了 Werner 态的保真 度 反之 任何保真度小于 50%的 Werner 态可认为是非纠缠的 所以不能从中提取纠缠 迭代比较法的改进 对 Werner 态 该过程并不是已知最好的提取方法 有多种改进方法 一种改进是 采用了一种更智能的迭代比较方法 Macchiavello 它利用了这一事实 第一次迭代后 输出不再是 Werner 态 而是更有结构的贝尔态混合 第二种改进是当 Werner 态的保真 度已充分提高 大约高于 0.83 Alice 和 Bob 应停止迭代并用另一种技术 散列法 hashing 停止提取 其要点是 对 n n 很大 个部分纯化对施加局域运算 以测 量 2n 个相位和幅度比特随机子集的奇偶性 散列过程 主要是随机线性码的解码 可有 效地发现和纠正残留的贝尔态错误 代价是丢弃大量渐进逼近 2n 比特序列的熵的对 由 散列法 任意纯 EPR 对的渐进输出是 1 S 其中 是散列过程输入状态的密度矩 1 0.1
ERE
E1 F
0.01 0.001 0.0001 0.00001 F=0.6
DH DH
0.75
0.811
பைடு நூலகம்
1.0
图 7 可从 Werner 态提取的纠缠的对数图 保真度 F 用散列法为 DH 用最佳已知双向规程 为 DM 并与其纠缠相对熵 ERE 和一次构成纠缠 E 1 相比较 F 29
阵 纠缠提取协议 entanglement distillation protocol 中可容忍的噪声依赖于协议是否要 求 Alice 和 Bob 间的双向通信 如迭代比较法 还是只需单向通信 如散列法 只要求 单向通信的协议等价于量子纠错码 以极限 n 达到容量 Q 依赖于双向通信的协议 如 散列后的迭代比较 产生图 3 b 中所示经典辅助 Q2 协议 用散列法 DH 和最佳已 知双向提取协议法 DM 从 Werner 态产生的纯 EPR 对示于图 7 并与 Werner 态的纠缠 相对熵 E RE 和一次构成纠缠 E 1 相比较 F<0.81071 时 DH 消失 最佳已知向协议单略好些 F 截止于 F =0.80944 其它三个量 DM E RE E 1 均在 F=1/2 时消失 由于 Werner 态与去 F 极化信道等价 图中两条较低的曲线也给出了量子容量 Q2 和 p=4(1-F )/3 的去极化信道的 Q 的最佳已知下界, E RE 是 Q2 的最佳已知上界 部分转置准则 现在 我们讨论可分性 separability 的必要条件 即所谓 Peres 的部分转置准则 partial transpose criterion of Peres 设有密度矩阵 其转置也是一个密度矩阵 若双方分享的 混合态是非纠缠的 则它是非纠缠纯态 每一个都是两个子系统纯态的张量积 的混合 ~ 依然是一个密 若变换对应于只应用于一或两个部分的转置 结果即所谓的部分转置 ρ ~ 未必是一个密度矩阵 例如 它可能有负 度矩阵 然而 若原始混合态 是纠缠的 ρ 的特征值 现举一个简单的例子 对应于贝尔态 Ψ − = 1 / 2 ( 01 − 10 ) 的密度矩阵为