2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d L x dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x = 故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩将f t ，1c ，2c 代入J 可得5*201500502150233J x x dt =+=-=⎰ 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
解：由题可知，21L x =+，()00x =，()1x 自由欧拉方程：L 0d L x dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，L 0ft x∂=∂，0fTt L L x x ∂⎛⎫+= ⎪∂⎝⎭易得到()x t a =其通解为：()x t at b =+代入边界条件()f x t a =，()00x =，1f t =，求出0a =，0b = 将f t ，a ，b 代入J 可得()1*211J x dt =+=⎰极值轨线为()*0x t = 2-9 求使泛函22211220(2)J x x x x dt π=++⎰为极值并满足边界条件1(0)0x =，2(0)0x =1()12x π=，2()12x π=- 的极值轨线*1()x t 和*2()x t 。
解：由题可知，2211222L x x x x =++，1(0)0x =，2(0)0x =，1()12x π=，2()12x π=-欧拉方程：1122L 0L 0d Lx dt x d L x dt x ∂∂⎧-=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩可得：21L 2x x ∂=∂，11L 2x x ∂=∂，112d L x dt x ∂=∂ 12L 2x x ∂=∂，22L 2x x ∂=∂，222d L x dt x ∂=∂ 所以这时的欧拉方程为12210x x x x -=⎧⎨-=⎩对上述第一个方程求导两次，再由第二个方程，可以将2x 消去，得(4)110x x -=不难求出此方程的解11234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++对此式求导两次，得21234cos cos t t x c e c e c t c t -=+--利用给定的端点条件，可求出1230c c c ===，41c =因此，极值轨线为*1*2()sin ()sin x t tx t t⎧=⎪⎨=-⎪⎩2-12 设二次积分模型为()()t t θω=，()()t u t ω=性能指标1201()2J u t dt =⎰ 已知初态(0)(0)1θω==，末态(1)0θ=，(1)ω自由，试求最优控制*()u t 和最优轨迹*()t θ与*()t ω。
解：由题可知构造H ：21212TH L f u u λλωλ=+=++ 正则方程：1210H H λθλλω∂⎧=-=⎪⎪∂⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩由上式可得 11212()()t c t c t c λλ=⎧⎨=-+⎩ 控制方程：20Hu u λ∂=+=∂ 由上式可得 212()u t c t c λ=-=-由状态方程()()t t θω=，()()t u t ω=可得321234212311()621()2t c t c t c t c t c t c t cθω⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩横截条件2(1)0(1)ϕλω∂==∂ 有12c c = 由边界条件(0)(0)1θω==，(1)1θ=可求43123412111162c c c c c c c c =⎧⎪=⎪⎪⎨-++=⎪⎪=⎪⎩ 即12346611c c c c =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以 最优控制为*()66u t t =-最优轨线*32*2()31()361t t t t t t t θω⎧=-++⎪⎨=-+⎪⎩ 2-13 设系统状态方程12()()x t x t =，1(0)2x = 2()()x t u t =，2(0)1x =性能指标如下：21()2f t J u t dt =⎰ 要求达到()0f x t =，试求（1）5f t =时的最优控制*()u t 。
（2）f t 自由时的最优控制*()u t 。
解：由题可知构造H ：212212TH L f u x u λλλ=+=++ 正则方程：11212()0()H t x H t x λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩ 可求得 11212()()t c t c t c λλ=⎧⎨=-+⎩控制方程：20Hu uλ∂=+=∂ 由上式可得 212()u t c t c λ=-=- 由状态方程12()()x t x t =，2()()x t u t =可得32112342212311()621()2x t c t c t c t c x t c t c t c ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（1）5f t =时由边界条件1(0)2x =，2(0)1x =，1()0f x t =，2()0f x t =可得343212342123121155506215502c c c c c c c c c =⎧⎪=⎪⎪⎨*-*+*+=⎪⎪*-*+=⎪⎩ 得123454125322512c c c c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩ 故32122916()2125252732()112525x t t t t x t t t ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩有 25432()12525x t t =-有最优控制*5432()12525u t t =- （2）若5f t =自由由哈密顿函数在最优轨线末端应满足的条件21221()()()()()()02f f f f f f fH t u t t x t t u t t ϕλλ∂=++=-=∂即2()0f t λ=，从而21f c c t =，代入32122121120621102f f f f f c t c t t c t c t ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩可得6f t =-因为时间总为正值，所以此题无解。
2-14 设一阶系统()()x t u t =，(0)1x =性能指标12201()2J x u dt =+⎰已知(1)0x =。
某工程师认为，从工程观点出发可取最优控制函数*()1u t =-。
试分析他的意见是否正确，并说明理由。
解：由题可知将()()u t x t =代入性能泛函，得1221()2J x x dt =+⎰ 于是，性能泛函中只含有一个宗量()x t 。
以上问题就变成了求性能泛函为极值的极值曲线问题 令22L x x =+ 则欧拉方程为：220L d L x x x dt x∂∂-⋅=-=∂∂ 解得：12()t t x t c e c e -=+根据横截条件(0)1x =，(1)0x =可得211212(1)(1)c e c e ---⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 因此，使给定性能泛函取极值的最优解为*2121()(1)(1)t t x t e e e e ----=-+- *2121()(1)(1)t t u t e e e e ----=-+-由此知该工程师的意见不正确3-4 给定一阶系统方程()()()x t x t u t =-+，(0)1x =控制约束为()1u t ≤，试求使下列性能指标：101[()()]2J x t u t dt =-⎰为极小值的最优控制*()u t 及相应的最优轨线*()x t 。
解：由题可知构造H ：1()()(1)()22uH x x u x u λλλ=-+-+=-+-哈密顿函数达到极小值就相当于使性能指标极小，因此要求1()2u λ-极小。
且取其约束条件的边界值，即()1u t =时，使哈密顿函数H 达到最小值。
所以，最优控制应取*11,2()112u t λλ⎧->⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，由协态方程 ()1Ht xλλ∂=-=-∂可得 ()1t t ce λ=- 由横截条件 (1)0λ=求得 1c e -=，于是有1()1t t e λ-=-显然，当()0.5s t λ=时，*()u t 产生切换，其中s t 为切换时间。
不难求得ln2s et =，故最优控制为 *1,0ln 2()1,ln 12e t u t e t ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩将*()u t 代入状态方程，得1,0ln 2()1,ln 12e x t x t e x t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩解得121,0ln 2()1,ln 12tt e c e t x t e c e t --⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩代入初始条件(0)1x =，可得 12c =，因而()21t x t e -=-，0ln2et ≤< 在上式中，令ln2e t =，可求出ln 12et ≤≤时()x t 的初始条件ln 24(ln )2112e e x e e-=-=-从而求得22c e =-。
因而()(2)1t x t e e -=-+，ln12et ≤≤ 于是，最优轨线为21,0ln 2()(2)1,ln 12tt e e t x t e e e t --⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩将求得的*()u t 和*()x t 代入式J ，得最优性能指标1ln 1*200ln 211132[()()](2)[(2)]ln 0.4522222e t t e eJ x t u t dt e dt e e dt e --=-=-++-=--≈⎰⎰⎰3-7 已知二阶系统方程121()()4x t x t =+，11(0)4x =- 2()()x t u t =，21(0)4x =-式中控制约束为1()2u t ≤试确定最优控制*()u t 。