初二数学反比例函数讲义 上课时间：2014年__月___日一、本节课知识点梳理1、反比例函数的概念2、反比例函数的图像及其性质3、反比例系数k 的意义及其实际应用二、重难点点拨教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数k 的几何意义三、典型例题与分析知识点一：反比例函数概念一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=xk ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数） 1、在下列函数中，反比例函数是（ ）A 11+=x y B xy=0 C x k y = D xy 21-= 2、如果函数12-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ）A 、1-B 、0C 、21D 、1 知识点二：反比例函数的图象与性质注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

（1）已知y=xk（k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。

（2）已知y=xk（k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。

注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。

【例1】在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >> 练习：1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是_______A y=-x+1B y=x 43-C y=x21 D y=2x-1 2．反比例函数y=xk图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。

3．在同直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=xk（k ≠0）的图象大致是___________。

4．已知反比例函数3y x=， ①若x ＜-3，则y 的取值范围 ②若y ＞-1，则x 的取值范围知识点三：反比例函数y=xk比例系数k 的意义 1. 如图过双曲线上任一点p （x 、y ）作x 轴、y 轴垂线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|∵y=xk∴xy=k ∴s=|k|，即反比例函数y=xk（k ≠0）中的比例系数k 的绝对值表示过双曲线上任意一点，作X 轴，Y 轴的垂线所得的矩形的面积。

2. 如图过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线， 则S △AOQ =k 21【例2】如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线ky x =与直线y x m =-+ •在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B ，且S △ABO ＝32，则反比例函数的解析式 ．【例3】如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点， 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变． 练习：1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0)ky k x=≠的图象以及正比例函数2y x =-的图象，请同学观察有什么特点。

甲同学说：双曲线与直线2y x =-有两个交点；乙同学说：双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是5．请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析式 ．yxOACB2、 如图A ，B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行与y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S 。

则（ ）A 、S=1B 、1＜S ＜2C 、S=2D 、S ＞23、如图,在平面直角坐标系中，直线2k y x =+与双曲线ky x =在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求： （1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．知识点四：待定系数法【例4】已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A （m ，1），正比例函数的解析式为_________________. 练习：1．已知y=xk（k ≠0）的图象经过（3，2）则k= 。

2.若y 与x 成反比例，x 与z 成正比例，则y 是z 的（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、不能确定3、已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2-x 成正比例，且x ＝1时，y ＝－1；x ＝3时，y ＝5，求x ＝5时y 的值。

知识点五：反比例函数与正比例函数的交点问题直线x k y 1=与双曲线xk y 2=的交点情况： ①当1k 与2k 满足：______________，直线x k y 1=与双曲线xk y 2=无交点 OAB②当1k 与2k 满足：_______________，直线x k y 1=与双曲线xk y 2=有两个交点。

若其中一个交点坐标为（m,n ）,另一个交点坐标为___________。

【例5】已知函数xay ax y -==4和的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是 。

练习： 1、已知函数y k x=1与y k =2x 的图象交点是（－2，5）是，则它们的另一个交点是 A ． （2，5） B ． （5，－2） C ． （－2，－5） D ． （2，-5） 2．在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ） A 1k <0，2k >0B 1k >0，2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号知识点六：反比例函数与一次函数 1、当k ＜0时，反比例函数x ky =和一次函数2+=kx y 的图象大致是图中的 （ )2、如图，已知一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象与反比例函数)0(8≠-=m xy 的图象交于A ，B 两点，且A 点的横坐标与B 点的纵坐标都是2-；（1）求一次函数的解析式 （2）求△AOB 的面积。

知识点七：与反比例函数有关的实际问题【例6】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间有如下关系：x （元）3456oxyoxy oxy oyxABC Dy （元） 20 15 12 10（1）猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；（2）设经营此卡的销售利润为w 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？练习：1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A 、不小于54m 3 B 、小于54m 3 C 、不小于45m 3 D 、小于45m 32、、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：拉面师傅在一定体积的面团的条件下制做拉面，通过一次又一次地拉长面条，测出每一次拉长面条后面条的总长度与面条的粗细(橫截面积)（1）请根据右表中的数据求出面条的总长度y （m ）与面条的粗细(橫截面积) s(mm 2)函数关系式；(2)求当面条粗1.6mm 2时， 面条的总长度是多少？3、 某蓄水池的排水管每小时排水8m 3，6小时可将满池水全部排空．（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q （m 3），那么将满池水排空所需的时间t （h ）将如何变拉面的橫截面积S(mm 2) 面条的总长度y （m ） 200 0．8 160 1 120 1．3 80 2 40 4．1化？（3）写出t 与Q 的关系式．（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m 3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？四、拓展应用：如图5，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）.⑴分别求出直线AB 及双曲线的解析式； ⑵求出点D 的坐标；⑶利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，1y >2y .课后作业：1、矩形的面积为6cm 2，那么它的长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系用图象表示为（ ）2、已知点A(―2，a )在函数x y 2=的图像上，则a =（ ）A.―1B.1C.―2D. 2图5ABCD3、如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则该直线的解析式为___________________.4、已知：y=y 1+y 2，其中y 1与x 成反比例，y 2与x-2成正比例，但当x=1时，y=-1，当x=3时，y=3，求函数y 的解析式。

5、正比例函数x y 2=与双曲线xky =的一个交点坐标为A （2，m ）。

（1）求出点A 的坐标；（2）求反比例函数关系式； （3）求这两个函数图象的另一个交点坐标6．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数my x=的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)求△AOB 的面积。

7、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为60元，在营销中发现，该衬衣的日销售量y （件）是日销售价x 元的反比例函数，且当售价定为100元/件时，每日可售出30件.（1）请写出y 关于x 的函数关系式；（2）该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元，则其售价应为多少元？。