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(z

p
)1

C1
dA
dn
p
α z z dz
p (z )2 C2
O
O
在均匀流，与流线正交的n方向上无加速度，所以有 Fn 0
即： pdA ( p dp)dA dAdn cos 0
dp dz 0
积分得：
z p C

cos dz
ds
p u2 d(z ) 0
2g
沿流线积分得： z p u2 c
2g
任意两个断面：
z1

p1


u12 2g

z2

p2


u22 2g
Z dZ
0
——不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程式
前进
二、理想液体元流能量方程的意义 u12
2g
z1
p1


u12 2g
恒定流
非恒定流 一元流 二元流 三元流
水库
图示
图示
h
均匀流
B
按流线是否为彼此平行的直线
水库
渐变流
非均匀流
401 恒定流与 非恒定流
402 均匀流
急变流
流线图
均匀流
渐变流 非均匀流
急变流 均匀流 非均匀流 均匀流
均 匀 流
录像403
非均匀流 急变流
渐变流和急变流
五、均匀流、渐变流过水断面的重要特性
均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：
•过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变； •同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上 的流速分布相同，断面平均流速相等； •均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律 与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的 测压管水头为一常数； 推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总 压力的计算方法相同。
前进
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运
动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容： 描述液体运动的两种方法 液体运动的基本概念 恒定总流的连续性方程 恒定元流的能量方程 实际液体恒定总流的能量方程 能量方程式的应用举例 实际液体恒定总流的动量方程 恒定总流动量方程式的应用举例 量纲分析法简介
拉格朗日法必须建立质点运动坐标的函数关系式，这在数学处理上 将十分困难，除研究如射流、波浪运动等流动问题外很少采用。
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2.欧拉法 ——以考察不同液体质点通过固定的空间 点的运动情况作为基础，综合所有空间点 上的运动情况，构成整个液体的运动。
欧拉法
布哨
着眼于空间点，研究质 点流经空间各固定点的 运动特性
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三、流量和断面平均流速
流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积，
常用单位m3/s，以符号Q表示。
dA u
udA dQ
图示
Q dQ udA
Q
A
断面平均流速——是一个想像的流速，如果过水断
面上各点的流速都相等并等于V，此时所通过的流量
与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，
录像302
流线的作法：
在流场中任取一点（如图），绘 出某时刻通过该点的流体质点的流 速矢量u，再画出距1点很近的2点 在同一时刻通过该处的流体质点的 流速矢量u2… …，如此继续下去， 得一折线1234 … …，若各点无限 接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
u1 u2 u3 u4 2 34
图示为一个分叉流动，每支的流量各为Q2和Q3。根 据能量守恒原理，单位时间内，从1—1断面流入的 液体总能量，应等于从2—2及3—3断面流出的总能 量之和再加上两支水流的能量损失。即
1
2 Q2
2
Q1
3
1 节点 3 Q3
Q1 ( z1

p1

) 112 2g
Q2 (z2

p2
)
设在理想液体恒定流中，取一微小流束
2 p+dp
依牛顿第二定律：
Fs
ma s
其中： as

du dt
dA 1
p
Z
一元流时 u u(s) du du ds u du 0 dt ds dt ds
α dG=γdAds
pdA ( p dp)dA dAds cos dAds u du
质量为： 1u1dA1dt
dA1
u1
在dt时间通过dA2的液体质量为 ： 2u2dA2dt
根据质量守恒定律，dt时间内流入微小流束dA1与流出dA2 的液体质量相等： 1u1dA1dt 2u2dA2dt
对不可压缩液体， 1 2 则有 u1dA1 u2dA2
即有：dQ1 dQ2
的变化曲线，它代表总水头或水头损失
沿 流程的分布状况。
测压管水头线是对应
z

p

的变化曲线，它代表压强沿流程度J：指单位长流程的平均水头损失，即
J

dh ds


dH ds
0
• 测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水 头线降落，用测压管测量。
d(z p)
（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力；
（3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所 取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；
（4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加 入或分出。
（5）流程中途没有能量输入或输出。
二、能量方程的扩展
1、分叉恒定流
则该流速V称为断面平均流速。
udA
VA A
返回
A
旋转抛物面
Q udA 即为旋转抛物体的体积 A
断面平均流速V
V A Q 即为柱体的体积
udA
VA A
返回
四、水流的分类
表征液体运动的物理量，如 流速、加速度、动水压强等
t0时刻 t1时刻
水库
按运动要素是否随时间变化 按运动要素随空间坐标的变化
三、毕托管测流速原理 Δh
动能演示
h1
h2
动 压 管
A-A
静
压
管
A2
返回
1
A
四、实际液体恒定流元流的能量方程
z1
p1

u12 2g

z2

p2

u22 2g
hw
hw ——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2阻力做
功所损失的能量，称为水头损失。
u12 2g
p1

1
hw
u22 2g p2
V 2
hw
2g
测压管水头线
2
水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，1
J dhw dH dL dL
d(z p)
测压管坡度 J p

dL
Z1 1
0
2 Z2
0
二、能量方程几何图示——水头线
水头线：水头（如总水头或测压管水头）沿程的变化曲线。
总水头线是对应 z

p

v 2 2g
积分得： Q1 Q2 也可表达为： V1A1 V2 A2
恒定总流的连续性方程
上式就是不可压缩液体恒定总流的连续性方程，它反映了总 流断面平均流速与过水断面面积成反比，亦即总流任意过水 断面通过的流量相等。
3.3 恒定总流的连续性方程
若有支流：
Q3 Q1
Q2
Q1 Q2 Q3
Q1
Q3
Q2

2
p1

) 112
2g
2g
1,2
Q (z ) (z ) h 0 Q2(3z2
1
流线的性质
a、同一时刻的不同流线，不能相交。 L1
U2
根据流线定义，在交点的液体质点的流速 向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可 L2
U1
能同时有两个速度向量。
b、流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
液体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c、流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大， 稀疏的地方流速小）。
Q1 Q3 Q2
3.4 恒定元流的能量方程式
水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的 具体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互 转换，建立水流各运动要素之间的关系。
方程式建立的思路： •理想液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定流微小流束的能量方程式
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一、理想液体恒定流微小流束的能量方程式
结束
水力学课程重点
质
量
三
守
大
恒
守
能
恒 定
量 守 恒
律
动
量
守
恒
连
续
性 方 程
恒 定
能 量
总 流
方
三
程
大
动
方
量
程
方
程
3.1 描述液体运动的两种方法
1.拉格朗日法 ——以研究单个液体质点的运动过程 作为基础，综合所有质点的运动，构 成整个液体的运动。又称为质点系法。
拉格朗日法
跟踪
着眼于运动液体的质点， 跟踪质点描述其运动历 程
2
2 2
2g
Q3 (z3

p3

3 32 2g
)

Q2 h 1, 2
Q3h1,3
Q1 Q2 Q3p1