(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。
d
闸瓦
N
解：为了求得飞轮从制 飞轮
f
动到停止所转过的角度q
和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩
和飞轮的角加速度。 24
闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与
正压力的乘积
f N 0.50 500 N 2.5 102 N
28
a
m2 g
1
m1 m2 2 M
T1
m1m2 g 1
m1 m2 2 M
1
T2

(m1
2
M )m2 g 1
m1 m2 2 M
此题还可以用能量的方法求解。在物体m2下落 了高度h时, 可以列出下面的能量关系
m2 gh

1 2
(m1

m2 )v 2

1 2
Jw 2
（5）
dA dEk
将转动动能的具体形式代入上式并积分, 得
A

1 2
J
w
2 2

1 2
Jw
2 1
21
定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转 动动能的增量。这就是作定轴转动刚体的动能 定理。
五、转动定理 (Theorem of rotation)
将力矩作功和转动动能的具体形式代入式子
dA dEk
得
29
式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率,
w是此时滑轮的角速度。
因为
J

1 2
Mr 2 ,
w

v r
, 所以得
m2 gh

1 2 (m1
m2

1 2
M )v 2
由此解得
v2
2m2 g
h
1
m1 m2 2 M
（6）
30
将 v 2 = 2 a h 代入 (6) 式, 可以求得两个物体的加速度
M
以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。
32
§4-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律
一、刚体对转轴的角动量 (Angular momentum )
J
2.5
25
(1) 对于匀变速转动, 从开始制动到停止, 飞轮转过
的角度q 可由下式求得:
w 2 w02 2q
所以
q

w2
w02

0 130 2 rad

2.8 102rad
2 2 30
(2) 摩擦力矩所作的功
A Mzq 75 2.8102 J 2.1104J
例1：设圆柱型电机转子由静止经300 s后达到
18000 r/min，已知转子的角加速度 与时间成正
比，求转子在这段时间内转过的圈数。
解：因角加速度 随时间而增大，设： =ct
由定义得： dw ct dw ctdt
dt
6
对上式两边积分
w
t
dw c tdt
0
0
w 1 ct2
tt2 dt
0
150 0
q π rads3 t3
150
转子转数： N q π 3003 3104
2 π 2 π 450
7
§4-2 刚体定轴转动的动力 一、刚体的转学动动能 (Rotational kinetic energy )
设刚体绕固定轴Oz以角速度w 转动,各体元的质量
称为刚体对转轴的转动惯量
。
i 1
用J 表示：
n
J Dmi ri2
i 1
代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式
Ek

1 2
Jw 2
刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是
相似性的。
9
二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia )
从转动动能公式看到 , 刚体的转动惯量J与质点 的质量 m 相对应 。在质点运动中, 质点的质量是 质点惯性的量度 。在刚体转动中, 刚体的转动惯 量是刚体转动惯性的量度。
19
如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置q1转 到q2 , 在此过程中力矩所作的功为
A
q2 q1
M z dq
力矩的瞬时功率可以表示为
P

dA dt

Mz
dq
dt

Mzw
式中w是刚体绕转轴的角速度。
20
四、动能定理 (theorem of kinetic energy )
根据功能原理, 外力和非保守内力对系统作的 总功等于系统机械能的增量。对于刚体一切内力 所作的功都为零。对定轴转动的刚体 , 外力的功 即为外力矩所作的功; 系统的机械能为刚体的转 动动能。
分别为Dm1 , Dm2 , … , Dmn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn。
n 个体元绕Oz轴作圆周运
xw
动的动能的总和为：
Ek

n i 1
1 2
Δmi
vi2
o ri vi
Dmi

1 2

n i1
Δmi ri 2
w 2

8
式中
n

Dmi
ri2
式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
在整个刚体转过dq角的过程中，n个外力所作的
总功为
n
n
dA dAi ( M zi )dq Mzdq
i 1
i 1
n
式中 M zi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力
i 1
矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外
力矩Mz 。
若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替
J r 2dm r 2 dV
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、 转轴的位置、 刚体的形状。
10
几 种 常 见 形 状 的 刚 体 的 转 动 惯 量
11
12
例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l = 1.0 m 的 均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以
J
l / 2 l / 2
x
2
m l
dx

1 3
m l
x3
l /2 l / 2
1 ml2 8.3 102 kg m2 12
棒的转动动能为
Ek

1 2
Jw 2

1 0.083 632 J 2
1.7 102J
14
两个定理
1. 平行轴定理
J JC md 2
26
例 5：质量为 m1 的物体置于完全光滑的水平桌面 上 , 用一根不可伸长的细绳拉着 , 细绳跨过固定于
桌子边缘的定滑轮后，在下端悬挂一个质量为 m2 的 物体 , 如图所示。已知滑轮是一个质量为 M ,半径为r
的圆盘,
轴间的摩擦力忽略不计。求滑轮与
m1
之间
的及绳物子体的 运张 动力 的T1加速、度a滑 轮。与 m2 之间的绳子的张力T2 以
0
2根据垂Biblioteka 轴定理Jz Jx Jy
由于对称性, J x J y , 所以
Jz

2J x

1 mR2 2
解得
Jx

1 mR 2 4
17
三、力矩作的功
在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位
移, 那么该力矩也作了功 。
假设 作用于以 z 轴为转轴的刚体上的多个外力分别
是 F1, F2 ,, Fn 。
不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代 替。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：
q
q0
w0t

1 t 2
2
w w0 t w 2 w02 2q
5
五、刚体运动学中角量和线量的关系
w＝ dq
dt
v rw
dw d2q
dt dt 2
at r an rw 2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。
2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz Jx Jy
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点 都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为 转动。这条直线称为转轴。
既平动又转动 质心的平动加绕质心的转动。
2
二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation)
在刚体转动中, 如果转轴固定不动, 称为定轴 转动。过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称 为转动平面。
m2
m1
27
解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。

列方程 T1 =m1 a
（1）
FN

m2 g T2 = m2 a （2）
T1 T1 α
对于滑轮
T2r T1r

J

1 2
M r2
（3）

T2
m1g
T2
a
辅助方程

r = a （4）
m2 g
解以上四个联立方程式, 可得
a
m2 g
1
m1 m2 2 M
根据
T1h

1 2