2018-2020年吉林省中考数学复习各地区模拟试题分类（长春专版）（10）——四边形一．选择题（共5小题）1．（2020•长春模拟）在▱ABCD中，AB＜BC，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连结CE，若▱ABCD的周长为20cm，则▱CDE的周长为（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm 2．（2020•长春模拟）如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作等边三角形CDF，使点F在其内部，连结FE，则▱DFE的大小是（）A．76°B．66°C．60°D．48°3．（2020•南关区校级二模）如图，一束平行太阳光线FA、GB照射到正五边形ABCDE上，▱ABG ＝46°，则▱FAE的度数是（）A．26°．B．44°．C．46°．D．72°4．（2020•南关区二模）一个多边形的每一个外角都是72°，这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．（2020•二道区一模）已知▱ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）A．▱DAE＝▱BAE B．▱DEA=12▱DABC．DE＝BE D．BC＝DE二．填空题（共6小题）6．（2020•长春模拟）将四根长度相等的细木条首尾相接连成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当▱B＝60°时，如图2，测得AC=√2，当∠B=90°时，如图1，AC 的长为．7．（2020•长春模拟）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连结AP，BP，CP，已知▱APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE＝．8．（2020•长春模拟）如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，▱FAD＝60°，AE平分▱FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝．9．（2020•长春模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是．10．（2019•长春模拟）将两块含30°角的全等的直角三角形纸片按如图①的方式摆放在一起，较长的直角边AC长为√3cm．将▱DEF沿射线AB的方向平移，如图②．当四边形ADFC 是菱形时，平移距离为cm．11．（2018•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，若OQ＝OC，则点Q的坐标为．三．解答题（共25小题）12．（2020•长春模拟）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为点O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若EF＝8，AC＝4√2，则sin▱ACD的值为．13．（2020•朝阳区校级一模）综合与实践：折纸中的数学问题情境：在矩形ABCD中，AD＝12，点M、N分别是AD、BC的中点，点E、F分别在AB、CD上，且AE＝CF，将▱AEM沿EM折叠，点A的对应点为点P，将▱NCF沿NF折叠，点C的对应点为点Q，且点P、Q均落在矩形ABCD的内部．数学思考：（1）判断PM与NQ是否平行，并说明理由；（2）当AB长度是多少时，存在点E，使四边形PNQM是有一个内角为60°的菱形？直接写出AB的长度及菱形PNQM的面积．14．（2020•南关区校级模拟）如图，▱ABC中，AB＝BC，过点A作BC的平行线与▱ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接AC与BD交于点O，过点D作DE▱BC的延长线交于E点，连接EO，若BC=√5，AC＝2，直接写出OE的长．15．（2020•二道区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在▱ABC中，AB ＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF＝EF，求证：BD＝CE，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过D点作DG▱AC交BC于G，进而解决了该问题．（不需证明）【探究】如图③，在四边形ABCD中，AB▱DC，E为BC边的中点，▱BAE＝▱EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【应用】如图④，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF=√2，▱GEF＝90°，则GF的长为．16．（2020•长春模拟）如图，在四边形ABCD中，AD▱BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分▱ABC，过点D作DE▱BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2√5，AC＝4，求OE的长．17．（2019•长春模拟）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连结DE，过点A作AF▱DE，交BC于点F，易证：DE＝AF．（不需要证明）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连结EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB 中点，DF＝1，AB＝4，求GH的长．应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，BF，AE相交于点G．若AB＝3，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则▱ABG的面积为，▱ABG的周长为．18．（2019•长春模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝2，DE＝3，求菱形ABCD的面积．19．（2019•宽城区一模）问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是▱BFG的中线．（1）求证：▱ABE▱▱DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD 上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是▱BFG的中线，则线段GH的长为．20．（2019•绿园区一模）如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，AE＝AB，连结AC、DE、CE．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形．（2）若AB＝AC，AD＝4，CE＝6，求四边形ACDE的面积．21．（2019•朝阳区二模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE▱CA，AE▱BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE 的形状是什么？不必说明理由．22．（2019•长春模拟）探究：如图①，直线l1▱l2，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，记▱ABC的面积为S1，▱ABD的面积为S2，求证：S1＝S2．拓展：如图②，E为线段AB延长线上一点，BE＞AB，正方形ABCD、正方形BEFG均在直线AB同侧，求证：▱DEG的面积是正方形BEFG面积的一半．应用：如图③，在一条直线上依次有点A、B、C、D，正方形ABIJ、正方形BCGH、正方形CDEF均在直线AB同侧，且点F、H分别是边CG、BI的中点，若正方形CDEF的面积为l，则▱AGI的面积为．23．（2018•绿园区一模）如图，在▱ABC中，D是AB边上的点，E是AC边上的点，且EF▱AB，DF▱BE，▱ABE＝▱BAC．试猜想DF与AE有怎样的数量关系，并说明理由．24．（2018•长春二模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E，若AC＝8，BD＝6，求BE的长．25．（2018•南关区一模）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，交BA的延长线于点G．（1）求证：OE＝OF；（2）若AC▱AB，E是OG的中点，AE＝1cm，直接写出GF的长．26．（2018•二道区模拟）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD 是对角线，若▱ADB是直角，求证：四边形BFDE是菱形．27．（2018•长春二模）如图，已知四边形ABCD是矩形：延长AB至点F，连结CF，使得CF ＝AF，过点A作AE▱FC于点E，求证：AD＝AE．28．（2018•朝阳区校级一模）如图，在▱ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A 点作AF▱BC交BE的延长线于点F，连结CF．试说明：四边形ADCF是平行四边形．29．（2018•长春一模）如图，把两个边长相等的等边▱ABC和▱ACD拼成菱形ABCD，点E、F 分别是CB、DC延长上的动点，且始终保持BE＝CF，连结AE、AF、EF．求证：AEF是等边三角形．30．（2018•长春模拟）在▱ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD＝BF．31．（2018•长春模拟）如图，BD是▱ABCD的对角线，点E、F在BD上，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，并证明你的结论．32．（2018•长春模拟）如图，在▱ABC中，AB＝AC，AD平分▱BAC交BC于点D，分别过点A、D作AE▱BC、DE▱AB，AE与DE相交于点E，连结CE．求证：四边形ADCE是矩形．33．（2018•长春二模）如图，在▱ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过A点作AF▱BC交BE的延长线于点F，连结CF．求证：四边形ADCF是平行四边形．34．（2018•长春模拟）探究：如图，分别以▱ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB 和正方形ACDE，NC、BE交于点P．求证：▱ANC＝▱ABE．应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝．35．（2020•长春模拟）如图，请在由32个边长为1的小正三角形组成的网格中，按下列要求作图．且所画图形的顶点都在网格顶点上．（1）在图①中画出一个斜边为2的直角三角形；（2）在图②中画出一个面积为2√3的菱形；（3）在图②中画出一个面积为3√3的平行四边形，36．（2020•长春模拟）如图，在直角▱ABC中，▱ACB＝90°，CD▱AB，垂足为D，O是BC边中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结BE，CE．（1）求证：四边形CDBE为矩形．（2）若tanA＝2，AD＝5，求线段BE的长．2018-2020年吉林省中考数学复习各地区模拟试题分类（长春专版）（10）——四边形参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：▱对角线AC的垂直平分线交AD于点E，▱AE＝CE，▱▱ABCD的周长为20cm，▱AD+DC＝10cm，▱▱CDE的周长＝DE+CE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝10cm，故选：D．2．【解答】解：因为▱CDF是等边三角形，所以▱CDF＝60°，因为▱CDE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，所以▱EDF＝108°﹣60°＝48°，因为DE＝DF，所以▱DFE＝（180°﹣48°）÷2＝66°，故选：B．3．【解答】解：▱图中是正五边形．▱▱EAB＝108°．▱太阳光线互相平行，▱ABG＝46°，▱▱FAE＝180°﹣▱ABG﹣▱EAB＝180°﹣46°﹣108°＝26°．故选：A．4．【解答】解：▱一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，▱这个多边形的边数为：360÷72＝5，▱这个多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．5．【解答】解：A、由作法可知AE平分▱DAB，所以▱DAE＝▱BAE，故本选项不符合题意；B、▱CD▱AB，▱▱DEA＝▱BAE=12▱DAB，故本选项不符合题意；C、无法证明DE＝BE，故本选项符合题意；D、▱▱DAE＝▱DEA，▱AD＝DE，▱AD＝BC，▱BC＝DE，故本选项不符合题意．故选：C．二．填空题（共6小题）6．【解答】解：如图2，连接AC，▱AB＝BC＝CD＝DA，▱B＝60°，▱四边形ABCD是菱形，▱ABC为等边三角形，▱AC＝AB＝BC=√2．如图1，连接AC，▱AB＝BC＝CD＝DA，▱B＝90°，▱四边形ABCD是正方形，▱AB＝BC=√2，则AB2+BC2＝AC2，▱AC=√(√2)2+(√22)=2，故答案为：2．7．【解答】解：延长AP交CD于F，▱▱APB＝90°，▱▱FPB＝90°，▱▱CPF+▱CPB＝90°，▱四边形ABCD是矩形，▱▱DAB＝▱ABC＝90°，BC＝AD＝3，▱▱EAP+▱BAP＝▱ABP+▱BAP＝90°，▱▱EAP＝▱ABP，▱CP＝CB＝3，▱▱CPB＝▱CBP，▱▱CPF＝▱ABP＝▱EAP，▱▱EPA＝▱CPF，▱▱EAP＝▱APE，▱CD2+DE2＝CE2，▱42+（3﹣AE ）2＝（3+AE ）2，解得：AE =43，故答案为：43．8．【解答】解：如图，延长AE ，BC 交于点G ，▱点E 是CD 的中点，▱DE ＝CE ，▱平行四边形ABCD 中，AD▱BC ，▱▱D ＝▱ECG ，又▱▱AED ＝▱GEC ，▱▱ADE▱▱GCE ，▱CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，又▱AE 平分▱FAD ，AD▱BC ，▱▱FAE ＝▱DAE ＝▱G =12▱DAF ＝30°，▱AF ＝GF ＝3+5＝8，又▱E 是AG 的中点，▱Rt▱AEF中，EF=12AF＝4，故答案为：4．9．【解答】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，▱带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故答案为：②③．10．【解答】解：▱▱EDF＝90°，▱DFE＝30°，DF=√3，▱DF=√3DE，▱DE＝1，▱四边形ADFC是菱形，▱AD＝DF，▱DAF＝▱DFE＝30°，▱ADF＝120°，▱▱ADE＝120°﹣90°＝30°＝▱DAF，▱AE＝DE＝1；故答案为：1．11．【解答】解：过Q作QD▱OA于D，▱OQ＝OC＝2，▱四边形ABCD 是正方形，▱▱BOA ＝45°，▱▱ODQ 是等腰直角三角形，▱OD ＝QD =OQ 2=22=√2， ▱Q （√2，√2）； 故答案为：（√2，√2）三．解答题（共25小题）12．【解答】（1）证明：▱四边形ABCD 是矩形，▱AD▱BC ，▱▱EAO ＝▱FCO ，▱直线l 垂直平分线段AC ，垂足为点O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F ， ▱AE▱CF ，OA ＝OC ，▱AOE ＝▱COF ＝90°，AE ＝CE ，CF ＝AF ，在▱AOE 和▱COF 中{∠EAO =∠FCOOA =CO ∠AOE =∠COF▱▱AOE▱▱COF （ASA ），▱AE ＝CF ，▱四边形AFCE 是菱形；（2）解：▱四边形AFCE 是菱形，EF ＝8，AC ＝4√2，▱AO ＝OC =12AC ＝2√2，EO ＝OF =12EF ＝4，在Rt▱AOE 中，由勾股定理得：AE =√AO 2+OE 2=√(2√2)2+42=2√6， ▱四边形AFCE 是菱形，四边形ABCD 是矩形， ▱▱ADC ＝▱AOE ＝90°，▱▱ACD ＝▱AEO ＝90°﹣▱DAC ，▱sin▱ACD ＝sin▱AEO =AO AE =√226=√33， 故答案为：√33． 13．【解答】解：（1）PM▱NQ ，理由如下：如图①，▱四边形ABCD 是矩形， ▱AD ＝BC ，AD▱BC ，▱A ＝▱C ＝90°，▱点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，▱AM ＝NC ，▱AE ＝CF ，▱▱EAM▱▱FCN （SAS ），▱▱AME ＝▱CNF ，▱▱AME ＝▱EMP ，▱CNF ＝▱FNQ ，▱AD▱BC，▱▱AQN＝▱CNQ，▱▱AMP＝▱AQN，▱PM▱QN；如图②，延长NQ交AD的延长线于H，▱四边形ABCD是矩形，▱AD＝BC，AD▱BC，▱A＝▱C＝90°，▱点M，N分别是AD，BC的中点，▱AM＝NC，▱PM＝NQ，▱AE＝CF，▱▱EAM▱▱FCN（SAS），▱▱AME＝▱CNF，▱▱AME＝▱EMP，▱CNF＝▱FNQ，▱▱AMP＝▱QNC，▱AD▱BC，▱▱AHN＝▱CNH，▱▱AMP＝▱AHN，▱PM▱QN；（2）如图③，连接MN、PQ，▱四边形PNQM是有一个内角为60°的菱形，▱MN▱PQ，▱PMN为等边三角形，▱MN＝MP＝AM＝6，▱PQ＝6√3，▱菱形PNQM的面积=12×6×6√3=18√3，▱当AB＝6或6√3时，四边形PNQM是有一个内角为60°的菱形，菱形PNQM的面积为18√3．14．【解答】证明：（1）▱BD平分▱ABC，▱▱ABD＝▱DBC，▱AD▱BC，▱▱ADB＝▱DBC，▱▱ABD＝▱ADB▱AB＝AD，且AB＝BC，▱AD＝BC，且AD▱BC▱四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC，▱四边形ABCD是菱形，（2）▱四边形ABCD是菱形，▱AC▱BD，CO=12AC＝1，▱BC=√5，▱BO=√BC2−OC2=2，▱BD＝2OB＝4，▱DE▱BC，▱OE=12BD＝2．15．【解答】【探究】解：AB＝AF+CF．如图1，分别延长DC、AE，交于G点，▱AB▱DC，▱▱B＝▱GCE，▱BAE＝▱EGC，▱E为BC边的中点，▱BE ＝CE ，▱▱ABE▱▱GCE （AAS ），▱AB ＝CG ，又▱AB▱DC ，▱▱BAE ＝▱G而▱BAE ＝▱EAF ，▱▱G ＝▱EAF ，▱AF ＝GF ，▱AB ＝CG ＝GF+CF ＝AF+CF ．【应用】解：如图2，延长GE 交CB 的延长线于M ．▱四边形ABCD 是正方形，▱AD▱CM ，▱▱AGE ＝▱M ，在▱AEG 和▱BEM 中，{∠AEG =∠MEB ∠AGE =∠M AE =BE ，▱▱AEG▱▱BEM （AAS ），▱GE＝EM，AG＝BM＝1，▱EF▱MG，▱FG＝FM，▱BF=√2，▱MF＝BF+BM＝1+√2，▱GF＝FM=√2+1．故答案为：√2+1．16．【解答】（1）证明：▱AD▱BC，▱▱ADB＝▱CBD，▱BD平分▱ABC，▱▱ABD＝▱CBD，▱▱ADB＝▱ABD，▱AD＝AB，▱AB＝BC，▱AD＝BC，▱AD▱BC，▱四边形ABCD是平行四边形，又▱AB＝BC，▱四边形ABCD是菱形；（2）解：▱四边形ABCD是菱形，▱AC▱BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC =12AC ＝2，在Rt▱OCD 中，由勾股定理得：OD =√CD 2−OC 2=4，▱BD ＝2OD ＝8，▱DE▱BC ，▱▱DEB ＝90°，▱OB ＝OD ，▱OE =12BD ＝4．17．【解答】感知：证明：▱四边形ABCD 是正方形，▱AD ＝AB ，▱DAE ＝▱ABF ＝90°，▱AF▱DE ，▱▱DAF+▱BAF ＝90°，▱DAF+▱ADE ＝90°，▱▱ADE ＝▱BAF ， 在▱DAE 和▱ABF 中，{∠ADE =∠BAFAD =AB ∠DAE =∠ABF，▱▱DAE▱▱ABF （ASA ），▱DE ＝AF ；探究：解：分别过点A 、D 作AN▱GH ，DM▱EF ，分别交BC 、AB 于点N 、M ，如图②所示： ▱四边形ABCD 是正方形，▱AB▱CD ，AB ＝CD ，▱DAB ＝▱B ＝90°，▱四边形DMEF 是平行四边形，▱ME ＝DF ＝1，DM ＝EF ，▱AN▱GH ，GH▱EF ，▱DM▱GH ，同理，四边形AGHN 是平行四边形，▱GH ＝AN ，▱DM▱EF ，GH▱EF ，▱AN▱DM ，▱▱DAN+▱ADM ＝90°，▱▱DAN+▱BAN ＝90°，▱▱ADM ＝▱BAN ，在▱ADM 和▱BAN 中，{∠ADM =∠BANAD =AB ∠DAM =∠ABN =90°，▱▱ADM▱▱BAN （ASA ），▱DM ＝AN ，▱EF ＝GH ，▱DM ＝GH ，▱E 为AB 中点，▱AE =12AB ＝2，▱AM ＝AE ﹣ME ＝2﹣1＝1，▱DM =√AD 2+AM 2=√42+12=√17，▱GH =√17；应用：解：▱AB ＝3，▱S 正方形ABCD ＝3×3＝9，▱阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2：3，▱阴影部分的面积为：23×9＝6， ▱空白部分的面积为：9﹣6＝3，在▱ABE 和▱BCF 中，{BE =CF∠ABE =∠BCF =90°AB =BC，▱▱ABE▱▱BCF （SAS ），▱▱BEA ＝▱BFC ，S▱ABG ＝S 四边形CEGF ，▱S▱ABG =12×3=32，▱FBC+▱BEA ＝90°，▱▱BGE ＝90°，▱▱AGB ＝90°，设AG ＝a ，BG ＝b ，则12ab =32，▱2ab ＝6，▱a2+b2＝AB2＝32，▱a2+2ab+b2＝32+6＝15，即（a+b ）2＝15，▱a+b =√15，即BG+AG =√15，▱▱ABG 的周长为√15+3，故答案为：32，√15+3．18．【解答】（1）证明：▱四边形ABCD 是菱形，▱AC▱BD ，▱▱COD ＝90°．▱CE▱OD ，DE▱OC ，▱四边形OCED 是平行四边形，又▱COD ＝90°，▱平行四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED 是矩形，则CE ＝OD ＝2，DE ＝OC ＝3． ▱四边形ABCD 是菱形，▱AC ＝2OC ＝6，BD ＝2OD ＝4，▱菱形ABCD 的面积为：12AC•BD =12×6×4＝12． 19．【解答】（1）证明：▱四边形ABCD 是正方形，▱▱BAD ＝▱D ＝90°，AB ＝DA ，在▱ABE 和▱DAF 中，{AE =DF∠BAE =∠D AB =DA，▱▱ABE▱▱DAF （SAS ）；（2）解：BF ＝2GH ；理由如下：▱▱ABE▱▱DAF ，▱▱ABE ＝▱DAF ，▱▱DAF+▱BAG ＝▱BAD ＝90°，▱▱ABE+▱BAG ＝90°，▱▱BGF ＝▱ABE+▱BAG ＝90°，在Rt▱BFG 中，GH 是边BF 的中线，▱BF ＝2GH ；问题拓展：解：▱tan▱ABE =AE AB =24=12，tan▱DAF =DF AD =36=12，▱▱ABE ＝▱DAF ，▱▱DAF+▱BAG ＝▱BAD ＝90°，▱▱ABE+▱BAG ＝90°，▱▱AGB ＝90°，▱▱BGF ＝90°，在Rt▱BFG 中，GH 是边BF 的中线，▱BF ＝2GH ，▱四边形ABCD 是矩形，▱▱C ＝90°，BC ＝AD ＝6，CD ＝AB ＝4，▱CF ＝CD ﹣DF ＝1，▱BF =√BC 2+CF 2=√62+12=√37，▱GH =12BF =√372；故答案为：√372． 20．【解答】（1）证明：▱四边形ABCD 是平行四边形， ▱AB▱CD ，AB ＝CD ，即AE▱CD ，▱AE ＝AB ，▱AE ＝CD ，▱四边形ACDE 为平行四边形．（2）解：由（1）得：四边形ACDE 为平行四边形， ▱AD 、CE 互相平分，▱AB ＝AC ，CD ＝AB ，▱AC ＝CD ，▱四边形ACDE 是菱形，▱AD▱CE ，▱四边形ACDE 的面积=12AD×CE =12×4×6＝12．21．【解答】（1）证明：▱矩形ABCD ，▱OA ＝OC =12AC ，OD ＝OB =12BD ，AC ＝BD ，▱OA＝OD，▱DE▱CA，AE▱BD，▱四边形AODE是平行四边形，▱四边形AODE是菱形．（2）解：▱DE▱CA，AE▱BD，▱四边形AODE是平行四边形，▱菱形ABCD，▱AC▱BD，▱▱AOD＝90°，▱平行四边形AODE是矩形．22．【解答】探究：证明：作CM▱l1于点M，DN▱l1于点N，如图①．▱l1▱l2，▱CM＝DN．又▱▱ABC与▱ABD同底，▱S1＝S2；拓展：证明：连结BD，如图②．▱四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形，▱▱ABD＝▱BEG＝45°．▱BD▱EG．由探究中的结论可得，S▱DEG＝S▱BEG，▱S▱BEG=12S正方形BEFG，▱S▱DEG=12S正方形BEFG；应用：解：由“拓展”可得S▱AGI=12S正方形ABIJ．如图③，▱正方形CDEF的面积为l，▱CF＝1．▱点F、H分别是边CG、BI的中点，▱BI＝4，即正方形ABIJ的边长为4．▱S正方形ABIJ＝16．▱S▱AGI＝8．故答案是：8．23．【解答】解：DF＝AE，理由如下：▱EF▱AB，DF▱BE，▱四边形BDFE是平行四边形，▱DF＝BE，▱▱ABE＝▱BAC，▱AE＝BE，▱DF＝AE．24．【解答】解：▱四边形ABCD是菱形，▱AB▱CD，AC▱BD，▱AE▱CD，▱AOB＝90°，▱DE▱BD，即▱EDB＝90°，▱▱AOB＝▱EDB，▱DE▱AC，▱四边形ACDE是平行四边形，▱四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，▱AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，▱四边形ACDE是平行四边形，▱AE＝CD＝5，▱BE＝AE+AB＝10．25．【解答】（1）证明：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AE▱CF，▱▱EAO＝▱FCO，▱OA＝OC，▱AOE＝▱COF，▱▱AOE▱▱COF，（ASA），▱OE＝OF．（2）解：▱AC▱AB，▱▱OAG＝90°，▱EO＝EG，▱AE＝EO＝EG＝1，▱OE＝OF，▱GE＝EO＝OF＝1，▱GF＝3．26．【解答】证明：▱四边形ABCD是平行四边形，▱AB▱CD，AB＝CD，▱BE=12AB，DF=12CD，▱BE＝DF，又▱AB▱CD，▱BE▱DF，BE＝DF，▱四边形BEDF是平行四边形，连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，▱DF▱AE，DF＝AE，▱四边形AEFD是平行四边形，▱EF▱AD，▱▱ADB是直角，▱AD▱BD，▱EF▱BD，又▱四边形BFDE是平行四边形，▱四边形BFDE是菱形．27．【解答】证明：连接AC，如图所示：▱CF＝AF，▱▱FCA＝▱CAF，▱四边形ABCD是矩形，▱DC▱AB，▱▱DCA ＝▱CAF ，▱▱FCA ＝▱DCA ，▱AE▱FC ，▱▱CEA ＝90°，▱▱CDA ＝▱CEA ＝90°，在▱ADC 和▱CAE 中，{∠CDA =∠CEA∠DCA =∠FCA AC =AC，▱▱ADC▱▱CAE （AAS ），▱AD ＝AE ；28．【解答】解：▱AF▱BC ，▱▱AFE ＝▱EBD ，▱E 是AD 的中点，▱AE ＝DE ，在▱AEF 和▱DEB 中{∠AFE =∠EBD∠AEF =∠BED AE =ED，▱▱AEF▱▱DEB （AAS ），▱AF ＝BD ，▱AD 是BC 边的中线，▱BD＝CD，▱AF＝DC又▱AF▱BC，▱四边形ADCF是平行四边形．29．【解答】证明：▱▱ABC和▱ACD均为等边三角形▱AB＝AC，▱ABC＝▱ACD＝60°，▱▱ABE＝▱ACF＝120°，▱BE＝CF，▱▱ABE▱▱ACF，▱AE＝AF，▱▱EAB＝▱FAC，▱▱EAF＝▱BAC＝60°，▱▱AEF是等边三角形．30．【解答】证明：▱四边形ADEF为平行四边形，▱AD＝EF，AD▱EF，▱▱ACB＝▱FEB，▱AB＝AC，▱▱ACB＝▱B，▱▱FEB＝▱B，▱EF＝BF，▱AD＝BF．31．【解答】解：添加BE＝DF，如图，假设AC与BD交于点O，▱四边形ABCD是平行四边形，▱AO＝CO，BO＝DO，▱BE＝DF，▱BO﹣BE＝DO﹣DF，▱EO＝FO，▱四边形AECF是平行四边形．32．【解答】证明▱AE▱BC、DE▱AB，▱四边形ABDE是平行四边形．▱AE＝BD，▱AB＝AC，AD平分▱BAC，▱BD＝CD，AD▱BC，▱AE＝CD，▱ADC＝90°，又▱AE▱BC，▱四边形ADCE是平行四边形．▱四边形ADCE是矩形．33．【解答】证明：▱AF▱BC，▱▱AFE＝▱EBD．在▱AEF 和▱DEB 中▱{∠AFE =∠DBE∠FEA =∠BED AE =DE，▱▱AEF▱▱DEB （AAS ）．▱AF ＝BD ．▱AF ＝DC ．又▱AF▱BC ，▱四边形ADCF 为平行四边形．34．【解答】证明：▱四边形ANMB 和ACDE 是正方形，▱AN ＝AB ，AC ＝AE ，▱NAB ＝▱CAE ＝90°，▱▱NAC ＝▱NAB+▱BAC ，▱BAE ＝▱BAC+▱CAE ，▱▱NAC ＝▱BAE ，在▱ANC 和▱ABE 中{AN =AB ∠NAC =∠BAE AC =AE▱▱ANC▱▱ABE （SAS ），▱▱ANC ＝▱ABE ．解：▱四边形NABM 是正方形，▱▱NAB ＝90°，▱▱ANC+▱AON ＝90°，▱▱BOP＝▱AON，▱ANC＝▱ABE，▱▱ABP+▱BOP＝90°，▱▱BPC＝▱ABP+▱BOP＝90°，▱Q为BC中点，BC＝6，▱PQ=12BC＝3，故答案为：3．35．【解答】解：（1）如图①所示：▱ABC即为所求；（2）如图②所示：菱形ABCD即为所求；（3）如图③所示：平行四边形ABCD即为所求．36．【解答】证明：（1）▱O是BC边中点，▱OC＝OB，又▱OE＝OD，▱四边形CDBE是平行四边形，▱CD▱AB，▱▱CDB＝90°，▱四边形CDBE为矩形；（2）▱tanA=CDAD=2，且AD＝5，▱CD＝10，▱四边形CDBE为矩形，▱BE＝CD＝10．41/ 41。