函数二级结论1.若奇函数()f x 在原点处有定义,则(0)0f =,若奇函数()f x 周期为T ,则()0,()02Tf T f ==(需在相应点有定义)2.幂函数()a y x a Z =∈,当a 为奇数时为奇函数，当a 为偶数时为偶函数.3.形如()()y f x f x =+-的函数为偶函数,形如()()y f x f x =--的函数为奇函数.4.形如()y f x =的函数为偶函数.5.形如11x x a y a -=+的函数为奇函数6.形如)log ay bx =的函数为奇函数7.形如()2log 1bxa y a bx =+-的函数为偶函数8.形如x n y a m =+的函数关于点(log ,)2anm m中心对称 9.形如()(2)y f x f a x =+-的函数关于x a =轴对称,形如()(2)y f x f a x =--的函数关于点(,0)a 中心对称.10.形如()y f x a =-的函数关于x a =轴对称. 11.若()f x 满足()()x b f x a f -=+,则()f x 关于2ba x +=轴对称（括号内相加除以2）. 12.若()f x 满足()()c x b f x a f 2=-++,则()f x 关于点⎪⎭⎫⎝⎛+c b a ,2中心对称；13.函数()f x a +与函数()f b x -关于2b ax -=轴对称（括号内零点之和除以2）. 14.函数()f x a c ++与函数()d f b x --关于点(,)22b ac d-+中心对称 15.若()f x 满足()()f x a f x b +=+,则()f x 周期为a b - 16.若()f x 同时关于x a x b ==和轴对称,则()f x 周期为2a b - 若()f x 同时关于(,)(,)a m b m 和中心对称,则()f x 周期为2a b -若()f x 关于(,)a m 中心对称,同时关于x b =轴对称,则()f x 周期为4a b -17.若函数()f x 满足：()+()()f x a f x b C C ++=为常数,则()f x 周期为2a b - 特殊地：若()()f x a f x +=-,则()f x 周期为2a .18.若函数()f x 满足：()()()f x a f x b C C +⋅+=为常数,则()f x 周期为2a b - 特殊地：若1()()f x a f x +=±,则()f x 周期为2a . 19.若函数()f x 满足1()()1()f x f x a f x -+=+,则()f x 周期为2a .若函数()f x 满足()1()()1f x f x a f x ++=-,则()f x 周期为2a .若函数()f x 满足1()()1()f x f x a f x ++=-,则()f x 周期为4a .若函数()f x 满足()1()()1f x f x a f x -+=+,则()f x 周期为4a .20.若函数()f x 满足1()1()f x a f x +=-,则()f x 周期为3a .21.若函数()f x 满足()()(2)f x f x a f x a =+-+,则()f x 周期为6a 22.函数奇偶性的叠加：==//==,/= /±±⨯÷⎫⨯÷⨯÷⎬⨯÷⎭奇奇奇,偶偶偶奇偶奇奇偶,奇偶偶偶偶奇 奇（奇）=奇，奇（偶）=偶，偶（奇）=偶，偶（偶）=偶；（内偶则偶，内奇同外） 23.若()f x 为奇函数则()f x '为偶函数,若()f x 为偶函数则()f x '为奇函数. 24.32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图像关于点(,())33b bf a a--中心对称.三角函数二级结论1.当A B C π++=时,tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅2.当4A B π+=时,(1+tan )(1tan )2A B += 当3A B π+=时,)(1)4A B +=当6A B π+=时,4(1+tan )(1tan )333A B += 3.在△ABC 中,sin()sin cos()cos tan()tan A B C A B C A B C +=⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩,sin 2()sin 2cos 2()cos 2tan 2()tan 2A B C A B C A B C +=-⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩,sin cos 22cos sin 221tan 2tan 2A B C A B C A B C ⎧⎪+=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎪⎩4.△ABC 中,若1122(,),(,)AB x y AC x y == ,则122112ABC S x y x y =-5.△ABC 三边长分别为,,a b c ,则)2ABC a b cS p ++==6.△ABC 三边长分别为,,a b c ,内切圆半径为r ,则=,()2ABC a b cS p r p ++⋅=7.△ABC 三边长分别为,,a b c ,外接圆半径为R ,=4ABC abcS R8.积化和差：[][][][]1cos cos =cos()cos()21sin sin =cos()cos()21sin cos =sin()sin()21cos sin =sin()sin()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧⋅-++⎪⎪⎪⋅--+⎪⎨⎪⋅++-⎪⎪⎪⋅+--⎩和差化积：+cos +cos =2cos cos 22+cos cos =2sin sin 22+sin sin 2sin cos 22+sin sin 2cos sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-⎧⋅⎪⎪-⎪--⋅⎪⎨-⎪+=⋅⎪⎪-⎪-=⋅⎩9.正弦平方差公式：22sin()sin()sinsin αβαβαβ+⋅-=- 余弦平方差公式:22cos()cos()cossin αβαβαβ+⋅-=-向量二级结论1.向量平方差公式：向量平方差公式1（极化恒等式）：C如图：△ABC 中,D 为BC 中点则:22()()()()AB AC AD DB AD CD AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅-=+⋅-=-向量平方差公式2：C如图：平行四边形ABCD 中,22()()AC BD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-=-2.三角形四心的向量表达式与奔驰定理：（1）奔驰定理：已知点O 为△ABC 平面上一点,则0BOC AOC AOB OA O S B O S C S ⋅+⋅+⋅=（2）三角形四心的向量表达：①已知O 为△ABC 的重心,则0OA OB OC ++=②已知O 为△ABC 的垂心,则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=（OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅ ）③已知O 为△ABC 的外心,则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=（OA OB OC == ）④已知O 为△ABC 的内心,则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=3.单位向量：（1）对于非零向量a ,则aa是与a 共线的单位向量.（2）对于非零向量,a b ,若()a bp a bλ=+ ,则p 与,a b 夹角平分线共线（3）任意单位向量可设坐标为(cos ,sin )θθ4.向量与三点共线及向量的等和线：（1）三点共线的向量表达：如图,,A B C 三点共线,O 为线外一点：CA①若OC xOA yOB =+,则1x y +=,反之也成立.②若AC BC λμ=,则OC OA OB μλλμλμ=+++③若AC CB λ= ,即()OC OA OB OC λ-=-,将此式整理即能用,,OA OB OC 中任意两个为基底表示第三个. （2）向量的等和线：如图,向量,OA OB 不共线,若直线l 与直线AB 平行（或重合），称直线l 为基底,OA OB的等和线.若P 在直线l 上,且OP xOA yOB =+,则x y +为定值,x y +随O 与l 的距离成比例扩大或缩小：①当l 与AB 重合时：1x y += ②当l 过点O 时：0x y +=③当l 在O 与AB 之间时：01x y <+<④当l 在O 与AB 同侧,O 到AB 这一侧时：1x y +> ⑤当l 在O 与AB 同侧,AB 到O 这一侧时：0x y +<5.平行四边形对角线定理：平行四边形的两对角线平方和等于四边平方之和C如图：平行四边形ABCD 中,222222()()2()AC BD AD AB AD AB AD AB +=++-=+6.矩形对角线定理：矩形所在平面内任意一点到矩形两对角线端点距离的平方和相等.D CBAP如图,四边形ABCD 为矩形,P 为矩形所在平面上一点,则2222PA PC PB PD +=+数列二级结论1.等差数列{}n a 中,若,,0m n m n a n a m a +===且则 .2.等差数列{}n a 中,若,,()m n m n S n S m S m n +===-+且则.3.等差数列{}n a 中,21221(21),()m m m i m i S m a S m a a -+-=-=+ .4.等差数列{}n a 和{}n b 前n 项和分别为n S 和n T ,则2121n n n n a S b T --=,21212121p p q q a S q b T p ---=⋅-. 5.等差数列{}n a ,若()M N S S M N =≠ ,则K M N K S S +-=.6.等差数列{}n a ,110(0)a a >< ,且()M N S S M N =≠,若M N +为偶数,则当2M Nn +=时, n S 最大,若M N +为奇数,则当1122M N M N n n +++-==或 时,n S 最大（最小）. 7.等差数列{}n a ,公差为d ,则232,,m m m m m S S S S S -- 也成等差数列且公差为2m d .8.等差数列{}n a ,公差为d ，则m n m n S S S mnd +=++9.等差数列{}n a 前2n 项中：+1=n n S a S a 奇偶,前21n -项中：=1S n S n -奇偶 10.等差数列{}n a 首项为1a ,公差为d ,前n 项和为n S ,则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等差数列且首项仍为1a ,公差为2d .11.等比数列{}n a 中：211232112321,()m m m m m m m a a a a a a a a a a a --+⋅⋅⨯⨯=⋅⋅⨯⨯=⋅ .12.{}n a 是公比为q 的正项等比数列,则{}log m n a 是公差为log m q 的等差数列.13.等比数列{}n a 公比为q ,前n 项和为n S ,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，数列111n a q -⎧⎫⎛⎫⎪⎪⋅⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭前n 项和为n M ,则1nn nS a a T = ；1n n n S q M -=14.等比数列{}n a 公比为q ,则232,,m m m m m S S S S S -- 也成等比数列且公比为mq . 15.等比数列{}n a 公比为q ,前n 项连乘积为n T ,则232,,m mm m mT T T T T 也成等比，且公比为2m q 16.{}n a 为公差不为零的等差数列,且,,m k p a a a 依次成等比数列,则公比为p kk m-- 17.等比数列{}n a 公比为q ,若11q -<<，则n S 趋近于11a q- 18.等比数列{}n a ,mm n m n S S q S +=+。