答案
一、 填空 1、
形 如
P ( x ) dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx
P ( x ) dx ( Q ( x )e dx c)
的
方
程
，
e
P ( x ) dx
，
y e
2、
存
在
常
数
L0
，
使
得
(x ,y 1 ),(x ,y 2 ) R
，
有
f ( x, y1 ) f ( x, y 2 ) L y1 y 2
y 的奇解是（
（C）无
（D）有无数个
） ． （C） y 1 （D） y 0
（A） y x
（B） y 1
二、 求下列方程的解
1. 2.
3. 4.
dy 3y e2x dx
( y 3x 2 )dx (4 y x)dy 0 ydx xdy ( x 2 y 2 )dx
3、 4、 5、 6、
wx1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 0
xn
n 1 dny y dy n 1 d a x a n 1 x an y 0 1 n n 1 dx dx dx
(t ) (t )C
（C 为非奇异方程）
连续且关于 y 满足利普希兹条件
得 c1 ' (t )
cos t 1 ， c 2 ' (t ) 2 sin 3 t sin t 1 1 r2 2 sin 2 t
积分得； c1(t ) cot t r1 c 2 (t )
故通解为 x(t )
cos 2 t 1 1 r1 cos t r2 sin t sin t 2 sin t
dy y e xy dx x
5. 6.
7.
x '' 6x ' 5x （2 t 1) e 2t et
x' ' x 1 sin 3 t
x' '
1 2 x'
8.
2 1 1 dy 2 1 x 的基解矩阵 试求微分方程组 = 1 dx 1 1 2
dx
y
x
xdy ( xe xy y)dx xdy ydx xe xy dx dxy xe xy dx
dxy xdx e xy
积分： e xy 故通解为：
1 2 x c 2
1 2 x e xy c 0 2
4、解：齐线性方程 x' '6x'5x 0 的特征方程为 2 6 5 0 ，
5、若 x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t ) 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条 件是 6、形如 利方程。 。 的方程称为贝努
7 、 若 (t ) 和 (t ) 都 是 x' A(t ) x 的 基 解 矩 阵 ， 则 (t ) 和 (t ) 具 有 的 关 系： 。 ，则方程组
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6、解： x' y
则 x' ' y
dy dx
dy 1 3 3 y ， y x c ， dx 2 y 2
1
从而方程可化为
3 3 x' x c 2
1
积分得
三、
3 3 y x c 2
1
证明: 令 R : x , , y R
5、解：齐线性方程的特征方程为 2 1 0 ，解得 i
于是齐线性方程通解为 x(t ) c1 cos t c2 sin t 令 x(t ) c1 (t ) cos t c 2 (t ) sin t 为原方程的解，则
c1 ' (t ) cos t c 2 ' (t ) sin t 0 c ' (t ) sin t c ' (t ) cos t 1 1 2 sin 3 t
P( x) , Q( x) 在 , 上连续, 则 f ( x, y) P( x) y Q( x) 显然在 R 上连续 ,
因为 P( x) 为 , 上的连续函数 , 故 P( x) 在 , 上也连续且存在最大植 , 记为 L 即 P( x) L , x ,
三 证明题 1. 设 ( x) 在区间 (, ) 上连续．试证明方程
dy (x ) sin （2y） dx
的所有解的存在区间必为 (, ) ． 2. 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明 : 一阶线性方程
dy P( x) y Q( x) , 当 dx
P( x) , Q( x) 在 , 上连续时,其解存在唯一
y1 , y 2 R
f ( x, y1 ) f ( x, y 2 ) P( x) y1 P( x) y 2 = P( x) y1 y2 L y1 y 2
因此 一阶线性方程当 P( x) , Q( x) 在 , 上连续时,其解存在唯一
1 1, 2 5 ，故通解为 x(t ) c1e t c2 e 5t
2 不是特征根，所以方程有形如 x(t ) Ae 2t
把 x(t ) 代回原方程
4 Ae 2t 12 Ae 2t 5 Ae 2t e 2t
A
1 21 1 2t e 21
于是原方程通解为 x(t ) c1 e t c 2 e 5t
8 、若向量函数 g (t; y) 在域 R 上
dy g (t ; y ), (t 0 ; t 0 , y 0 ) y 0 的解 存在且惟一。 dt
9.当__________________时，方程 M x, y dx N x, y dy 0 称为恰当方程，或全 微分方程。且它只含 x 的积分因子的充要条件是 ___________。有只含 y 的积分 因子的充要条件是_________________。
常微分方程练习题 2
一、 填空
1、 一阶线性方程 解为
dy P( x) y Q( x) ，它有积分因子 dx 。
，其通
2、函数 f ( x, y) 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果 。
3、方程
dy y sin x e x 的任一解的最大存在区间必定是 dx
．
．
4、方程 y 4 y 0 的基本解组是
二、 求下列方程的解 1、解： 3x 2 dx ( ydx xdy ) 4 ydy 0
d ( x 3 ) dxy d (2 y 2 ) 0
故方程的通解为 x xy 2 y c
3 2
2 ydx xdy x 1 dx 2、解：两边除以 y ： 2 y y
10. 向量函数组 Y1 ( x), Y2 ( x), , Yn ( x) 在区间 I 上线性相关的________________条件是在 区间 I 上它们的朗斯基行列式 W ( x) 0 ．
11. 方程
dy dx
y x x（
）奇解．
（A）有一个
12.方程
dy dx
（B）有两个
试求方程组 x ' Ax f(t )的解 (t ).
9.
(0)
e t 1 1 2 , A , f ( t ) 4 3 1 1
10.
11.
y ' =2 (
y2 2 ) x y 1
y xy ( y ) 2
3.在方程
dy f ( y ) ( y ) 中，已知 f ( y) ， ( x) 在 (, ) 上连续，且 (1) 0 ．求 dx
证：对任意 x 0 和 y 0 1 ，满足初值条件 y( x0 ) y0 的解 y ( x) 的存在区间必为 (, ) ．
2
2 x x 1 dx d y y
d
变量分离：
x y
2
x y 1
dx
两边积分： arctan
x x c y
即：
x tan(x c ) y
xy
3、解： dy e xy xy xe