1.3.1.1 单调性9．(09·天津文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[答案] A [解析] ∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x )＞f (1) 得x 2－4x ＋6>3， ∴x ＞3或x ＜1.又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞)．当x ＜0时，由f (x )＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3，∴x ∈(－3,0)．综上可得x ∈(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.10．设(c ，d )、(a ，b )都是函数y ＝f (x )的单调减区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D [解析] 函数f (x )在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数)，但在D ∪E 上不一定单调减(或增)． 如图，f (x )在[－1,0)和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调． 16．讨论函数y ＝1－x 2在[－1,1]上的单调性．[解析] 设x 1、x 2∈[－1,1]且x 1<x 2，即－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 1)－f (x 2)＝1－x 21－1－x 22 ＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)1－x 21＋1－x 22当1>x 1≥0,1≥x 2>0，x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[0,1]上为减函数， 当－1≤x 1<0，－1<x 2≤0，x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[－1,0]上为增函数．17．求证：函数f (x )＝x ＋a 2x(a ＞0)，在区间(0，a ]上是减函数．[解析] 设0＜x 1＜x 2≤a ，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋a 2x 2)－(x 1＋a 2x 1)＝(x 2－x 1)＋a 2(x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2≤a ，∴0＜x 1x 2＜a 2，∴(x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)x 1x 2＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )＝x ＋a 2x(a >0)在(0，a ]上是减函数．1.3.1.2 最值2．函数y ＝x |x |的图象大致是( )[答案] A [解析] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ≥0－x 2 x <0，故选A.4．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b ) B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b ) D ．f (a )－f (b )＜f (－a )＋f (－b )[答案] A [解析] ∵a ＋b ＞0 ∴a ＞－b 且b ＞－a ，又y ＝f (x )是增函数 ∴f (a )＞f (－b ) 且f (b )＞f (－a )故选A. 8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有( )A ．最大值4，最小值0B ．最大值0，最小值－4C ．最大值4，最小值－4D ．最大值、最小值都不存在[答案] C [解析] y ＝|x －3|－|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4 (x ≥3)2－2x (－1＜x ＜3)4 (x ≤－1)，因此y ∈[－4,4]，故选C.10．(08·重庆理)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32[答案] C [解析] ∵y ≥0，∴y ＝1－x ＋x ＋3 ＝4＋2(x ＋3)(1－x ) (－3≤x ≤1)，∴当x ＝－3或1时，y min ＝2，当x ＝－1时，y max ＝22，即m ＝2，M ＝22，∴m M ＝22.12．已知函数f (x )在R 上单调递增，经过A(0，－1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f (x ＋1)|<1成立的x 的集合为________． [答案] {x |－1<x <2} [解析] 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1，即f (0)<f (x ＋1)<f (3)，∵f (x )在R 上是增函数， ∴0<x ＋1<3∴－1<x <2 ∴使不等式成立的x 的集合为{x |－1<x <2}．13．如果函数f (x )＝－x 2＋2x 的定义域为[m ，n ]，值域为[－3,1]，则|m －n |的最小值为________． [答案] 2 [解析] ∵f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，当m ≤x ≤n 时，－3≤y ≤1，∴1∈[m ，n ]， 又令－x 2＋2x ＝－3得，x ＝－1或x ＝3，∴－1∈[m ，n ]或3∈[m ，n ]， 要使|m －n |最小，应取[m ，n ]为[－1,1]或[1,3]，此时|m －n |＝2.14．求函数f (x )＝－x 2＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值．[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．①∵f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)－x 2－x (x ＜0)即f (x )＝⎩⎨⎧－(x －12)2＋14(x ≥0)－(x ＋12)2＋14(x ＜0)作出其在[－1,2]上的图象如右图所示由图象可知，f (x )的递增区间为(－∞，－12)和[0，12]，递减区间为[－12，0]和[12，＋∞)．②由图象知：当x ＝－12或12时，f (x )max ＝14，当x ＝2时，f (x )min ＝－2.1.3.2.1 奇偶性1．下列命题中错误的是( )①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点③偶函数的图象与y 轴一定相交 ④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数 A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③[答案] D [解析] f (x )＝1x 为奇函数，其图象不过原点，故②错；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 x ≥1－x －1 x ≤－1为偶函数，其图象与y 轴不相交，故③错．4．若f (x )在[－5,5]上是奇函数，且f (3)<f (1)，则下列各式中一定成立的是( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (1) C ．f (2)>f (3) D ．f (－3)<f (5)[答案] A [解析] ∵f (3)<f (1)，∴－f (1)<－f (3)， ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)<f (－3)．8．(09·辽宁文)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 ` D.⎣⎡⎭⎫12，23 [答案] A [解析] 由题意得|2x －1|<13⇒－13<2x －1<13 ⇒23<2x <43⇒13<x <23，∴选A.9．若函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在 [答案] B [解析] 解法1：f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.解法2：∵f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，∴对任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )恒成立，∴f (－1)＝f (1)， 即0＝2(1＋a )，∴a ＝－1.12．偶函数y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，则方程f (x )＝0的所有根之和为________．[答案] 0[解析] 由于偶函数图象关于y 轴对称，且与x 轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0. 16．定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )＋f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围． [解析] 由f (1－a )＋f (1－a 2)<0及f (x )为奇函数得，f (1－a )<f (a 2－1)，∵f (x )在(－1,1)上单调减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1－1<1－a 2<11－a >a 2－1解得0<a <1. 故a 的取值范围是{a |0<a <1}． 17．f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f (x )的解析式，并画出其图象．[解析] 设x ≥0时，f (x )＝a (x －1)2＋2，∵过(3，－6)点，∴a (3－1)2＋2＝－6， ∴a ＝－2.即f (x )＝－2(x －1)2＋2.当x <0时，－x >0，f (－x )＝－2(－x －1)2＋2＝－2(x ＋1)2＋2， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2(x －1)2＋2 (x ≥0)2(x ＋1)2－2 (x <0)，其图象如图所示．1.3.2.2 函数性质应用1．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数f (x ＋8)为偶函数，则( ) A ．f (6)>f (7) B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10) [答案] D[解析] ∵y ＝f (x ＋8)为偶函数，∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8对称，又f (x )在(8，＋∞)上为减函数，∴f (x )在(－∞，8)上为增函数，∴f (10)＝f (6)<f (7)＝f (9)，故选D.2．(胶州三中2009～2010)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)[答案] D[解析] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x<0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．4．偶函数f (x )＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，0]上递增，比较f (a －2)与f (b ＋1)的大小关系( ) A ．f (a －2)<f (b ＋1)B ．f (a －2)＝f (b ＋1)C ．f (a －2)>f (b ＋1)D ．f (a －2)与f (b ＋1)大小关系不确定[答案] A [解析] 由于f (x )为偶函数，∴b ＝0，f (x )＝ax 2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a <0，因此，a －2<－1<0<1＝b ＋1，∴f (a －2)<f (－1)＝f (1)＝f (b ＋1)，故选A. 9．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b2a<0，∴b <0，从而c >0与A图不符；B 中－b2a>0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b2a>0，且f (0)＝c <0，故选D.12．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [解析] 解法1：f (x )＝a ＋1－2a x ＋2可视作反比例函数y ＝1－2a x 经平移得到的．由条件知1－2a <0，∴a >12.解法2：∵f (x )在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x 1，x 2∈(－2，＋∞)且x 1<x 2，有f (x 1)<f (x 2)恒成立，而f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)∵－2<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，若要f (x 1)－f (x 2)<0，则必须且只需2a －1>0，故a >12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 14．已知f (x )是定义在(－1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若f (a －2)－f (4－a 2)<0，求实数a 的取值范围． [解析] 由f (a －2)－f (4－a 2)<0得 f (a －2)<f (4－a 2)又f (x )在(－1,1)上为偶函数，且在(0,1)上递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1－1<4－a 2<10<|a －2|<|4－a 2|，解得3<a <5，且a ≠2. 16.已知函数f (x )＝2x x 2＋1(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；(3)判断单调性；(4)作出其图象，并依据图象写出其值域． [解析] (1)函数的定义域为R .(2)∵f (－x )＝－2x1＋x 2＝－f (x )∴f (x )是奇函数，其图象关于原点O 对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．(3)单调性：设x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 11＋x 21－2x 21＋x 22＝2(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22) 当0<x 1<x 2≤1时，可知f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )在(0,1]上是增函数．当1<x 1<x 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在(1，＋∞)上是减函数，由于f (x )是奇函数，且f (0)＝0，因此，f (x )的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．并且当x →＋∞时，f (x )→0，图象与x 轴无限接近．其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．1.3.2.3 习题5．(哈三中2009～2010)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x －2，那么不等式f (x )<12的解集是( )A ．{x |0≤x <52}B ．{x |－32<x ≤0}C ．{x |－32<x <0，或x >52}D ．{x |x <－32或0≤x <52} [答案] D[解析] x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x －2，∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝x ＋2，又当x ＝0时，f (x )＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 x >00 x ＝0x ＋2 x <0，故不等式f (x )<12化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x －2<12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝00<12或⎩⎪⎨⎪⎧x <0x ＋2<12，∴0≤x <52或x <－32，故选D. 9．(2010·湖南理，8)已知min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1 [答案] D[解析] 如图，要使f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线x ＝－12对称，则t ＝1.17．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)，当x ＝2时，函数取得最大值2，其图象在x 轴上截得线段长为2，求其解析式．[解析] 解法1：由条件知a <0，且顶点为(2,2)，设f (x )＝a (x －2)2＋2，即y ＝ax 2－4ax ＋4a ＋2，设它与x 轴两交点为A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4＋2a，由条件知，|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4(4＋2a )＝－8a＝2，∴a ＝－2，∴解析式为f (x )＝－2x 2＋8x －6.解法2：由条件知f (x )的对称轴为x ＝2，设它与x 轴两交点为A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 1<x 2，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x 1＝2x 1＋x 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝3，故可设f (x )＝a (x －1)(x －3)，∵过(2,2)点，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋8x －6. 第一章综合素能检测2．(09·陕西文)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) [答案] A [解析] 若x 2－x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数， ∵3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)，∴f (3)<f (－2)<f (1)，故选A. 6．f (x )＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．{2} B ．(－∞，2] C ．[2，＋∞) D ．(－∞，1] [答案] C[解析] f (x )＝－(x －m 2)2＋m 24的增区间为(－∞，m 2]，由条件知m2≥1，∴m ≥2，故选C.7．定义集合A 、B 的运算A *B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．A D ．B [答案] D[解析] A *B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们的公共元素后，剩余元素组成的集合． 因此(A *B )*A 是图中阴影部分与A 的并集，除去A 中阴影部分后剩余部分即B ，故选D.[点评] 可取特殊集合求解．如取A ＝{1,2,3}，B ＝{1,5}，则A *B ＝{2,3,5}，(A *B )*A ＝{1,5}＝B .8．(广东梅县东山中学2009～2010高一期末)定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数 [答案] A[解析] 由运算与⊗的定义知，f (x )＝4－x 2(x －2)2－2，∵4－x 2≥0，∴－2≤x ≤2，∴f (x )＝4－x 2(2－x )－2＝－4－x 2x ，∴f (x )的定义域为{x |－2≤x <0或0<x ≤2}，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．12．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，若f (x )≥g (x )，f (x )，若f (x )<g (x ).则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值[答案] B[解析] 作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.20．(本题满分12分)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40cm 与60cm 现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪法，才能使剩下的残料最少？ [解析] 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x ，CF ＝y ，则AF ＝40－y .∵△AFE ∽△ACB .∴AF AC ＝FE BC 即∴40－y 40＝x 60∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为：S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200＝23(x －30)2＋600 ∵0<x <60∴当x ＝30时，S 取最小值为600，这时y ＝20.∴在边长60cm 的直角边CB 上截CD ＝30cm ，在边长为40cm 的直角边AC 上截CF ＝20cm 时，能使所剩残料最少． 21．(本题满分12分)(1)若a <0，讨论函数f (x )＝x ＋ax ，在其定义域上的单调性；(2)若a >0，判断并证明f (x )＝x ＋ax在(0，a ]上的单调性．[解析] (1)∵a <0，∴y ＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，又y ＝x 为增函数，∴f (x )＝x ＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．(2)f (x )＝x ＋a x 在(0，a ]上单调减，设0<x 1<x 2≤a ，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋ax 2)＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－ax 1x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，a ]上单调减．22．(本题满分14分)设函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝ax . (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )<g (x )．(2)记F (x )＝f (x )－g (x )，求函数F (x )在(0，a ]上的最小值(a >0)．[解析] (1)|x －2|<2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x －2<2x .或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，2－x <2x .∴x ≥2或23<x <2.即x >23.(2)F (x )＝|x －a |－ax ，∵0<x ≤a ，∴F (x )＝－(a ＋1)x ＋a . ∵－(a ＋1)<0，∴函数F (x )在(0，a ]上是单调减函数，∴当x ＝a 时，函数F (x )取得最小值为－a 2.2.1.1.1 根式6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f 2(1)的值为( ) A ．2b B ．a －b ＋c C ．－2b D ．0 [答案] C[解析] 由图象开口向下知，a <0.又f (－1)＝a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ，又－b2a<0，∴b <0，∴f (1)＝a ＋b ＋c ＝2b ，∴f 2(1)＝|2b |＝－2b .7．若xy ≠0，那么等式4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x <0，y >0 D ．x <0，y <0 [答案] C[解析] ∵xy ≠0，∴x ≠0，y ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2y 3>0－2xy >0y >0得，⎩⎨⎧x <0y >0.8．当n <m <0时，(m ＋n )－m 2－2mn ＋n 2＝( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n [答案] B[解析] (m ＋n )－m 2－2mn ＋n 2＝(m ＋n )－|m －n |＝(m ＋n )－(m －n )＝2n . 9.11－230＋7－210＝( ) A.6＋2－2 5 B.2－ 6 C.6－ 2D ．25－6－ 2 [答案] C[解析] 11－230＋7－210＝6－230＋5＋5－210＋2＝(6－5)＋(5－2)＝6－ 2.12.x ＋y x ＋y ＋2xy x y ＋y x＝__________. [答案] x ＋y[解析] 原式＝x ＋y x ＋y ＋2xy xy (x ＋y )＝x ＋y x ＋y ＋2xyx ＋y ＝(x ＋y )2x ＋y＝x ＋y .13．已知15＋4x －4x 2≥0，化简：4x 2＋12x ＋9＋4x 2－20x ＋25＝________.[答案] 8[解析] 由15＋4x －4x 2≥0得：－32≤x ≤524x 2＋12x ＋9＋4x 2－20x ＋25＝|2x ＋3|＋|2x －5|＝2x ＋3＋5－2x ＝8.16．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y的值．[解析] 将条件式展开整理得x －2xy －15y ＝0.分解因式得(x ＋3y )(x －5y )＝0，∵x >0，y >0，∴x ＝5y ，∴x ＝25y ，∴2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y ＝50y ＋225y 2＋3y25y －25y 2＋y＝3.17．已知x ＝12(a b＋b a )，(a >b >0)，求2ab x －x 2－1的值． [解析] ∵x ＝12⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ＝12⎝⎛⎭⎫ab b ＋ab a ＝ab (a ＋b )2ab ＝a ＋b 2ab，又a >b >0， ∴原式＝2ab a ＋b 2ab－(a ＋b )24ab －1＝2ab a ＋b 2ab －a －b 2ab ＝4ab2b ＝2a .[点评] 若把条件a >b >0改为a >0，b >0则由于x 2－1＝|a －b |2ab，故须分a ≥b ，a <b 进行讨论．18．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x (e ＝2.718…)．(1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值；(2)设f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g (x ＋y )g (x －y )的值．[解析] (1)[f (x )]2－[g (x )]2＝[f (x )＋g (x )]·[f (x )－g (x )]＝2·e x ·(－2e －x )＝－4e 0＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －(x ＋y )－e x －y －e －(x －y )＝g (x ＋y )－g (x －y )＝4 ①同法可得g (x )g (y )＝g (x ＋y )＋g (x －y )＝8. ②解由①②组成的方程组得，g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2.∴g (x ＋y )g (x －y )＝62＝3.2.1.1.2 分数指数幂2．使(3－2x －x 2)－34有意义的x 的取值范围是( )A ．RB ．x ≠1且x ≠3C ．－3<x <1D ．x <－3或x >1 [答案] C[解析] ∵(3－2x －x 2)－34＝14(3－2x －x 2)3有意义，∴应满足3－2x －x 2>0，解得－3<x <1，故选C.14．化简下列各式： (1)a 35b 2·35b 34a 3；(2)(1－a )[(a －1)－2(－a )12]12；(3)(3a 2b )2·ab 4ab 3. 16．设a ＝112，b ＝1312，求下式的值：＝1a ＋b －1a －b 1a ＋b ＋1a －b ＝a －b a －b －a ＋ba －b a －b a －b ＋a ＋b a －b＝－2b 2a＝－ba＝－3.2.1.2.1 指数函数及其性质A ．a >b >cB ．b >a >c B ．C ．b >c >aD ．c >b >a [答案] B 即a >c ，∴b >a >c .[点评] 指数函数的图象第一象限内底大图高，6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ． 4 D.14[答案] B [解析] 当a >1时，y min ＝a 0＝1；y max ＝a 1＝a ，由1＋a ＝3，所以a ＝2.当0<a <1时，y max ＝a 0＝1，y min ＝a 1＝a . 由1＋a ＝3，所以a ＝2矛盾，综上所述，有a ＝2.7．在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝ax 与指数函数g (x )＝a x 的图象可能是( )[答案] B[解析] 由指数函数的定义知a >0，故f (x )＝ax 的图象经过一、三象限，∴A 、D 不正确．若g (x )＝a x 为增函数，则a >1，与y ＝ax 的斜率小于1矛盾，故C 不正确．B 中0<a <1，故B 正确．16．判断函数f (x )＝x 2x －1＋x2的奇偶性．[解析] ∵2x－1≠0，∴x ≠0，定义域{x ∈R |x ≠0} ∵f (x )＝x 2x －1＋x 2＝x (2x ＋1)2(2x －1)，∴f (－x )＝－x (2－x ＋1)2(2－x －1)＝－x (1＋2x )2(1－2x )＝x (2x ＋1)2(2x －1)＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 17．求下列函数的定义域和值域(3)要使函数有意义，必须且只须x ＋1≠0，即x ≠－1.∴函数的定义域为{x ∈R |，x ≠－1}设t ＝x ＋2x ＋1，则t ∈R 且t ≠1，y ＝(13)t ，∴y >0且y ≠13∴函数的值域为(0，13)∪(13，＋∞)2.1.2.2 指数函数性质的应用1．当a >1时，函数y ＝a x ＋1a x －1是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 [答案] A[解析] 由a x－1≠0得x ≠0，∴此函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又∵f (－x )＝a －x＋1a －x －1＝1a x ＋11a x －1＝1＋a x1－a x＝－f (x )，∴y ＝f (x )为奇函数．4．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )a (a <b )，则函数f (x )＝3x *3－x 的值域是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞) [答案] A[解析] f (x )＝3x *3－x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x (x ≥0)3x (x <0)∴f (x )∈(0,1]，故选A.6．设a 、b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b [答案] C[解析] 解法1：∵0<a <1，∴y ＝a x 是减函数，又∵a <b ，∴a a >a b .排除A ； 同理得b a >b b ，排除B.在同一坐标系中作出y ＝a x 与y ＝b x 的图象． 由x >0时“底大图高”知x >0时，y ＝b x 图象在y ＝a x 图象上方，当x ＝b 时，立得b b >a b ，排除D ；当x ＝a 时，b a >a a ，∴选C.解法2：取特值检验，令a ＝14，b ＝12，则a a ＝22，a b ＝12，b a ＝142，b b ＝22，排除A 、B 、D ，∴选C.8．已知x 、y ∈R ，且2x ＋3y>2－y ＋3－x ，则下列各式中正确的是( ) A ．x ＋y >0 B ．x ＋y <0 C ．x －y >0 D ．x －y <0 [答案] A[解析] 作函数f (x )＝2x －3－x .因为2x 为增函数，由3－x ＝(13)x 为减函数，知－3－x 也是增函数，从而f (x )为增函数，由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )可知f (x )>f (－y )．又f (x )为增函数，所以x >－y ，故x ＋y >0.选A.9．函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，在x ∈[1,2]时的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________．[答案] 32或12[解析] 注意进行分类讨论(1)当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，此时f (x )max ＝f (2)＝a 2，f (x )min ＝f (1)＝a ∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32>1.(2)当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，此时f (x )max ＝f (1)＝a ，f (x )min ＝f (2)＝a 2∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12∈(0,1)综上所述：a ＝32或12.12．当x >0时，指数函数y ＝(a 2－3)x 的图象在指数函数y ＝(2a )x 的图象的上方，则a 的取值范围是________． [答案] a >3[解析] ⅰ)a 2－3>2a >1解得：a >3；ⅱ)a 2－3>1>2a >0不等式无解；ⅲ)1>a 2－3>2a >0不等式无解；综上所述a >3.14．已知f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，求a 的值及函数值域．[分析] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合，利用f (－x )＝－f (x )恒成立，可求得a 值．其值域可借助基本函数值域求得．[解析] ①∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )对定义域内的每一个x 都成立．即－[12x －1＋a ]＝12－x －1＋a ，∴2a ＝－12－x －1－12x －1＝1，∴a ＝12.②∵2x －1≠0∴x ≠0∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)∵u ＝2x －1>－1且u ≠0，∴1u <－1或1u>0∴12x －1＋12<－12或12x －1＋12>12∴f (x )的值域为(－∞，－12)∪(12，＋∞)．15．对于函数y ＝(12)x 2－6x ＋17，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调区间．[解析] (1)设u ＝x 2－6x ＋17，∵函数y ＝(12)u 及u ＝x 2－6x ＋17的定义域是R ，∴函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的定义域是R .∵u ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，∴(12)u ≤(12)8＝1256，又∵(12)u >0，∴函数的值域为{y |0<y ≤1256}．(2)∵函数u ＝x 2－6x ＋17在[3，＋∞)上是增函数，∴当3≤x 1<x 2<＋∞时，有u 1<u 2.∴y 1>y 2，即[3，＋∞)是函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的单调递减区间；同理可知，(－∞，3]是函数y ＝(12)x 2－6x ＋17的单调递增区间．16．已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x.(1)求证f (x )是定义域内的增函数；(2)求f (x )的值域．[解析] (1)证法1：f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x＋1＝1－2102x ＋1. 令x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝.故当x 2>x 1时，f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )是增函数． 证法2：考虑复合函数的增减性．由f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝1－2102x ＋1.∵10x 为增函数，∴102x ＋1为增函数，2102x ＋1为减函数，－2102x ＋1为增函数． ∴f (x )＝1－2102x ＋1在定义域内是增函数．(2)令y ＝f (x )．由y ＝102x －1102x ＋1，解得102x ＝1＋y 1－y. ∵102x>0，∴－1<y <1.即f (x )的值域为(－1,1)．2.1.2.3 习题8．当0<a <1时，函数y ＝a x 和y ＝(a －1)x 2的图象只能是下图中的( )[答案] D [解析] 0<a <1，a x 单调递减排除A ，C ，又a －1<0开口向下，∴排除B ，∴选D.9．下图的曲线C 1、C 2、a ∈{22，12，3，π}，则图象C 1、C 2、C 3、C 3、C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而C 4对应的函数的底数依次是______、________、________、________.[答案] 22、12、π、 3[解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数<C 1的底数<C 4的底数<C 3的底数． 12．如果x >y >0，比较x y y x 与x x y y 的大小结果为________．[答案] x y y x <x x y y[解析] x y y x x x yy ＝x y y x y －y x －x ＝x y －x y x －y ＝⎝⎛⎭⎫x y y －x .∵x >y >0，∴y －x <0，xy>1，∴0<⎝⎛⎭⎫x y y －x <1，∴x y y x <x x y y . 14．求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0且a ≠1)．15．[解析] 原不等式等价于a －x 2＋8>a －2x .(1)当a >1时，上面的不等式等价于－x 2＋8>－2x ，即x 2－2x －8<0，解得－2<x <4. (2)当0<a <1时，上面的不等式等价于－x 2＋8<－2x ，即x 2－2x －8>0，解得x <－2或x >4.∴原不等式的解集为：当a >1时为{x |－2<x <4}；当0<a <1时为{x |x <－2或x >4}．15．某商品的市场日需求量Q 1和日产量Q 2均为价格p 的函数，且Q 1＝288(12)p ＋12，Q 2＝6×2p ，日成本C 关于日产量Q 2的关系为C ＝10＋13Q 2.(1)当Q 1＝Q 2时的价格为均衡价格，求均衡价格p ；(2)当Q 1＝Q 2日利润y 最大，求y .[解析] (1)当Q 1＝Q 2时，即288(12) p ＋12＝6×2p ，令2p ＝t ，代入得288·1t＋12＝6×t ，所以t 2－2t －48＝0，解得t＝8或t ＝－6，因为t ＝2p >0，所以t ＝8，所以2p＝8，所以p ＝3.(2)日利润y ＝p ·Q 2－C ＝p ·Q 2－(10＋13Q 2)＝(p －13)Q 2－10，所以y ＝(p －13)×6×2p －10.当Q 1＝Q 2时，p ＝3，代入得y＝118.答：当Q 1＝Q 2时，均衡价格为3，此时日利润为118.2.2.1.2 对数运算性质4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－1 [答案] A [解析] 由log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋log 33)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 5． 的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52[答案] B [解析] 据对数恒等式及指数幂的运算法则有：6．与函数y ＝10lg(x －1)的图象相同的函数是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝x 2－1x ＋1 D ．y ＝(x －1x －1)2 [答案] D [解析] y ＝10lg(x－1)＝x －1(x >1)，故选D.7．已知f (log 2x )＝x ，则f (12)＝( )A.14B.12C.22D. 2 [答案] D [解析] 令log 2x ＝12，∴x ＝2，∴f (12)＝ 2.8．如果方程lg 2x ＋(lg2＋lg3)lg x ＋lg2·lg3＝0的两根为x 1、x 2，那么x 1·x 2的值为( )A ．lg2·lg3B ．lg2＋lg3C ．－6 D.16[答案] D[解析] 由题意知lg x 1和lg x 2是一元二次方程u 2＋(lg2＋lg3)u ＋lg2·lg3＝0的两根∴lg x 1＋lg x 2＝－(lg2＋lg3)，即lg(x 1x 2)＝lg 16，∴x 1x 2＝16.10．(09·江西理)函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1] [答案] C[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1－4<x <1，解得－1<x <1，故选C. 13．已知lg3＝0.4771，lg x ＝－3.5229，则x ＝________.[答案] 0.0003[解析] ∵lg x ＝－3.5229＝－4＋0.4771＝－4＋lg3＝lg0.0003，∴x ＝0.0003.15．计算：(3)lg 23－lg9＋1＝________；[答案] lg 103[解析] (3)lg 23－lg9＋1＝lg 23－2lg3＋1＝(1－lg3)2＝1－lg3＝lg 10317．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求xy的值．[解析] 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0x －y >0x >0y >0(x ＋2y )(x －y )＝2xy即⎩⎪⎨⎪⎧ x >y y >0(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y y >0(x －2y )(x ＋y )＝0∴x －2y ＝0，因此xy＝2.2.2.1.3 换底公式4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( )A ．pq B.q p ＋q C.p p ＋q D.pq1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝p q 变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q，故选B.5．设x ＝ ，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( )A ．1B ．－2C ．－103D ．－4 [答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2a lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f (x )＝2x2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.38 [答案] B[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1)因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4，∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B.9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________.[答案] 22＋3ab [解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a 2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ，∴1－lg2lg2＝32ab ，∴lg2＝22＋3ab. 11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______.[答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab )lg a lg b·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1，∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1. 12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)<lg 13，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板． 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系．[解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ，则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c， 又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值．[解析] ∵f (x )的最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧ lg a <016lg 2a －44lg a ＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0∵lg a <0，∴lg a ＝－14，∴a ＝10－14.。