湘一芙蓉中学2019-2020学年度第一学期
初三入学考试 数学试卷
考试总分：120分 考试时间：120分钟 命题人：何向军 审核人：罗权帅 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.
B. C. D.
2. 若点P （1x +，）与点Q （，1y -）关于原点对称，则x y +等于（ ）
A.
B. C. - D. 3. 如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转一定角度，得到ADE ∆．若65CAE ︒
∠=，
70E ︒∠=，且AD BC ⊥，BAC ∠的度数为（ ）.
A. 60︒
B. 75︒
C. 85︒
D. 90︒
4. 将方程2650x x --=化为
2
x m n +=（）的形式，则m ，n 的值分别是（ ） A. 3和5
B. 3-和5
C. 3-和14
D. 3和14
5. 已知二次函数2
31y x k =-+（
）的图象上有A ，1y ）、B （2，2y ）、C （5-，3y ）三个点，则123y y y 、、的大小关系是（ ）
A. 123y y y >>
B. 213y y y >>
C. 312y y y >>
D. 321y y y >>
6. 小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 如图，点O 是ABC ∆的内切圆的圆心，若80BAC ︒
∠=，则BOC ∠=（ ） A. 130︒
B. 120︒
C. 100︒
D. 90︒
8. 如图一次函数1y ax b =+和2y cx d =+在同一坐标系内的图象，则12y ax b
y cx d
=+⎧⎨
=+⎩的解
x m
y n
=⎧⎨
=⎩中（ ） A. 00m n >>，
B. 00m n ><，
C. 00m n <<，
D. 00m n <>，
9. 已知α，β是关于x 的一元二次方程2
2
230x m x m +
++=（）的两个不相等的实数根，且满足1
1
1α
β
+
=-，则m 的值是（ ）
A. 3或1-
B. 3
C. 1
D. 3-或1
10. 抛物线2
0y ax bx c a =++≠（）的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点A 在
（3-，0）和（2-，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①2
40ac b -<；②
20a b -=；③0a b c ++<；④点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）在抛物线上，若12x x <，
则12y y ≤，其中正确结论的个数是（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
第3题图
第7题图
第8题图
第10题图
第11题图
第14题图
11. 如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，OAB ∆是边长为4的等边三角 形，以O 为旋转中心，将OAB ∆按顺时针方向旋转60︒
，得到OA B ∆''，那么点A '的坐标 为（ ）
A.（2，
B.（2-，4）
C. （2-，
D. （2-，
12. 无论m 为任何实数，二次函数2
2y x m x m =+
-+（）的图象总过的点是（ ） A.（1，3） B.（1-，3）
C.（1，0）
D.（1-，0）
二、填空题（每小题3分，共18分）
13. 将抛物线2
y x =向左平移2单位，再向上平移3个单位，则所得的抛物线解析式为 .
14. 如图，O e 是ABC ∆的外接圆，直径4AD =，ABC DAC ∠=∠，则AC 长为 . 15. 已知直线l 经过点（1-，5），且与直线y x =-平行．若直线l 分别交x 轴、y 轴于
A B 、两点，则AOB ∆的面积为 ．
16. 已知抛物线2
3y x x m =-+与x 轴只有一个公共点，则m = .
17. 在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/2
m 下降 到12月份的5670元/2
m ，则11、12两月平均每月降价的百分率是 . 18. 已知二次函数2
23y x x =-+，当0x m ≤≤时，y 最大值为3，最小值为2，则m 的
三、解答题（共66分）
19.解下列方程（每小题5分，共10分）
（1）2
210x x --= （2）2
5(2)4(2)x x -=-
20.（8分）一幅长20cm 、宽12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm ，图案中三条彩条所占面积为2
ycm ． （1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的
2
5
，求横、竖彩条的宽度．
21.（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为A （3-，5），
B （2-，1），
C （1-，3）．
（1）若ABC ∆经过平移后得到的111A B C ∆，已知点1C 的坐标为（4，0），写出顶点11
A B 、的坐标；
（2）若ABC ∆和222A B C ∆关于原点O 成中心对称图形，写出222A B C ∆各顶点的坐标； （3）将ABC ∆绕着点O 按顺时针方向旋转90︒
得到的333A B C ∆，在图中画出333A B C ∆．
22.（9分）如图，点A 在x 轴的正半轴上，以OA 为直径作P Θ，C 是P Θ上一点，过点C
的直线3
y x =
+x 轴、y 轴分别相交于点D 、点E ，连接AC 并延长与y 轴相交于点B ，点B 的坐标为（0，4）．
（1）求证：OE CE =；
（2）请判断直线CD 与P Θ位置关系，证明你的结论，并请求出P Θ的半径长．
23.（10分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元． （1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？
（2）若该欧洲客商购进A ，B 型商品共250件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于80件．已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A 型商品m 件，求该客商销售这批商品的利润v 与m 之间的函数关系式，并写出m 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A 型商品，就从一件A 型商品的利润中捐献慈善资金a 元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
24.（10分）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）①当O Θ的半径为2时，
①在点1P （
12，0），2P （123P （5
2
，0）中，O Θ的关联点是 ．
②点P 在直线y x =-上，若P 为O Θ的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．
（2）C Θ的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段
AB 上的所有点都是C Θ的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．
25.（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
y ax bx c =++交y 轴于点C （0，4），对称轴2x =与x 轴交于点D ，顶点为M ，且DM OC OD =+． （1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P （x ， y ）是第一象限内该抛物线上的一个动点，PCD ∆的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P 的直线PE 与y 轴交于点E ，是否存在以O P E 、、为顶点的三角形与OPD ∆全等？若存在，请求出直线PE 的解析式；若不存在，请说明理由．。