传说中的上财33道证明题1、证明需求曲线上的点C的价格弹性等于BC：AC证明：ed=-dQ/dP·P/Q=GB/CG·CG/OG=GB/OG=BC/AC=OF/AF2、证明线性需求函数Q=f（p）上的任意两点的需求弹性不等3、应用数学方法证明蛛网模型的三种情况4、论证消费者均衡条件为：MU1/P1=MU2/P2证明：已知收入约束条件为：I=P1X1+P2X2构建拉氏函数：L=U(X1,X2)+λ(1-P1X1-P2X2)эL/эX1=эU/эX1-P1λ=0，即MU1/P1=λэL/эX2=эU/эX2-P2λ=0，即MU2/P2=λMU1/P1=MU2/P2=λ5、如果预算线给定，一条无差异曲线U（Qx，Qy）与其相切，试证明切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。
6、证明：MRS12=MU1/MU2证明：设效用函数：U=U(X1,X2)U=U(X1,X2)=C(常数)表示同一条无差异曲线，即代表相同的效用两边取全微分эU/эX1·dX1+эU/эX2·dX2=0-dX1/dX2=[эU/эX1]/[эU/эX2]=MU1/MU2，即，MRS12=MU1/MU27、证明：无差异曲线凸向原点8、证明Q=AL a K b。
（A，a，b为参数，0﹤a，b﹤1）具有规模报酬的三种性质。
证明：Q=ALαKβQ*=A(λL)α(λK)β=Aλα+βLαKβ=λα+βALαKβ=λ·λα+β-1ALαKβ(λ﹥1)当α+β﹥1时,为规模报酬递增当α+β=1时,为规模报酬不变当α+β﹤1时,为规模报酬递减9、证明MP L与AP L相交于AP L的最大值点处。
证明：dAP L/dL=d[f(l,K0)/L]/dL=[f’(L,K0)×L-f(L,K0)]/L2=[f ’(L,K0)-f(L,K0)/L]/L=(MP L-AP L)/L∵L﹥0∴当MP L﹥AP L时，AP L曲线上升；当MP L﹤AP L时，AP L曲线下降；当MP L=AP L时，AP L取得最大值。
10、证明：等产量曲线凸向原点。
11、证明：ARTS LK=MP L/MP K。
证明：假设等产量曲线的生产函数为：Q=f(L,K)=Q0，即f(L,K0=Q0，两边微分得：эf/эL×dL+эf/эK×dK=0∴-dK/dL=[эf/эL]/[эf/эK]=MP L/MP K，即MRTS LK=MP L/MP K生产理论中的边际技术替代率与消费者理论中的边际替代率是相似的。
12、证明厂商在既定产量条件下的成本最小化的条件是：MP L/MP K=w/r证明：在Q=f(L,K)=Q0条件下，已知w，r求L，K使wL+rK有最小值？证明：Z=wL+rK-λ[Q0-f（L，K）]эZ/эL=w-λ·эf/эL=0，эZ/эK=r-λ·эf/эK=0[эf/эL]/w=[эZ/эK]/r=1/λ，即MPL/w=MPK/rf(L,K)=Q0，使Z取得max，即wL+rK取得max。
13、证明AVC和MC曲线为AP L和MP L的一种镜像。
14、证明垄断厂商的MR曲线总是小于AR曲线，且斜率是2倍的关系，既MR曲线平分由纵轴到需求曲线d的任何水平线。
证明：因为假定现行的需求函数为：P=a-bQ（a，b为常数，且大于0）TR（Q）=PQ=aQ-bQ2MR（q）=dTR（Q）/dQ=a-2bQAR曲线（需求曲线）：P=a-bQdP/dQ=-b→Q=（a-P）/bMR曲线：MR（Q）=a-2bQdMR（Q）/dQ=-2bQ→Q=（a-MR）/2b15、证明边际收益与需求价格弹性的关系为：MR=P（1-1/e d）（e d弹性）证明：P=P（Q），TR（Q）=PQ=P（Q）QMR（Q）=dTR（Q）/dQ=dPQ/dQ·Q+P（Q）=dP/dQ·Q+P=P·（1+dP/dQ·Q/P）=P[1-1/（-dQ/dP·P/Q）]而e d=-dQ/dP·P/Q（为正值），所以MR=P[1-1/e d]16、证明收益，价格与需求价格弹性的关系为：dR/dP=Q（1-e d）证明：R=PQ，dR/dP=Q+dQ/dP·P=Q（1+dQ/dP·P/Q）=Q（1-ed）。
其中e d=-dQ/dP·P/Q（为正值）。
17、三级价格歧视要求在需求的价格弹性大的市场降低价格以使厂商获得最大的利润。
∵MR=dTR/dQ=d（PQ）/dQ=P+Q·dP/dQ=P（1-1/e d），e d=dQ/dP·P/Q这样对于市场1：MR1=P1（1-1/e d1）；对于市场2：MR2=P2（1-1/e d2）由MR1=MR2，得：P1（1-1/e d1）=P2（1-1/e d2）P1/P2=（1-1/e d2）/（1-1/e d1），若e d1﹤e d2，则P1﹤P2，弹性较大的市场取较小的价格。
18、垄断竞争厂商长期均衡时，LAC必定与d曲线相切的切点：同时也与MR与LM C的交点处在同一条垂线上，即Q相同。
点时两曲线的切线的斜率相同。
所以，d曲线的斜率dP/dQ=d（LAC）/dQ而LAC（切线）的斜率为：D（LAC）/dQ=d（LTC/Q）/dQ=[d（LTC）/dQ·Q-LTC]/Q2=[LMC-LAC]/Q在切点H处，均衡价格等于LAC（因为长期利率为0），所以有LAC=P，代入上式得到：所以dP/dQ=（LMC-P）/Q，则LMC=dP/dQ·Q+P又TR=TQ，MR=dTR/dQ=P+dP/dQ·Q所以此时，LMC=MR换句话说：LMC=MR时的产量就是H点处的产量。
19、证明在生产技术相同的n寡头垄断企业组成的古诺模型中，行业供给量等于市场容量的n/（n+1）假设厂商的成本为0，行业的需求函数为：P=a-b（Q1+Q2+…..+Q n）п1=PQ1=aQ1-bQ1(Q1+Q2+……Q n)，dп1/dQ1=a-2bQ1-bQ2-……-bQ n)=0п2=PQ2=aQ2-bQ2(Q1+Q2+……Q n)，dп2/dQ2=a-2bQ2-bQ1-……-bQ n)=0………пn=PQ n=aQ n-bQ n(Q1+Q2+……Q n)，dпn/dQ n=a-2bQ n-bQ1-……-bQ n)=0→a/b=2Q1+Q2+……Q n，a/b=Q1+2Q2+…..Q n，…..a/b=Q1+q2+…..2Q n→所以Q1=Q2=……Q n=1/(n+1)·a/b由需求方程P=a-bQ，当P=0时，则市场容量Q0=a/b所以n家寡头的行业供给量为n/（n+1）·a/b，即市场容量为n/（n+1）20、证明完全竞争厂商使用要素的原则是：VMP=w证明：п（L）=PQ（L）-wL-FC（固定成本）要达到пmax，则求导使之为0dп（L）/dL=P·dQ/dL-w=0，即P·dQ/dL-w=0P·MP-w=0，即VMP-w=0所以VMP=w时，п取得max21、如果生产函数Q=Q（L，K）为一次齐次函数，则Q=L*эQ/эL+K*эQ/эK注：*为乘号，э，为微分符号。
22、证明交换的一般均衡条件：MRS A xy=MRS B xy23、证明三部门经济中转移支付乘数为：β/（1—β）证明：因为Y=C+I+G=a+β（Y-T+TR）+I0+G0所以Y=（a-βT+βTR+I0+G0）/（1-β）所以K TR=эY/эTR=β/（1-β）24、证明，固定税制条件下平衡预算乘数为1证明：方法一：△Y=K G△G+K T△T=△G/（1-b）+-b·△T/（1-b）=（1-b）/（1-b）·△T∵△T=△G，∴△Y/△G=△Y/△T=1方法二：Y=C+I+G→△Y=△C+△I+△G因为C=a+bY=a+b（Y-T+TR）所以△C=b（△Y-△T）所以△Y=b（△Y-△T）+△I+△G=b（△Y-△T）+△G因为△I=0，所以△Y/△G=（1-b）/（1-b）=1，（因为△G=△T）25、证明与三部门经济相比，四部门经济相应的乘数更小。
证明：Y=C+I+G+NX=a+bY+I+G+NX=a+b（Y-T0-tY+TR）+I0+G0+x0-M0-γY所以Y=（a+I0+G0-bT0+bTR+X0-M0）/[1-b（1-t）+γ]四部门经济中的乘数：1、K X=dY/dX=1/[1-b（1-t）+γ]称为对外贸易乘数。
2、其他乘数：K I、K G=1/[1-b（1-t）+γ]、K TR=b/[1-b（1-t）+γ]、K T=-b/[1-b（1-t）+γ]等等特点也是四个部门的乘数变小，因为各个乘数分母为1-b（1-t）+γ26、证明财政政策乘数dy/dg=1/[1-β（1-t）+dk/h]证明：在产品市场上，Y=C+I+G（以上三部门经济为例）C=α+βyd=α+β（Y-T0-ty）I=e=dr所以r=[α+e+g-βT0]/d-[1-β（1-t）]·y/d在货币市场上，m=L1（y）+L2（r）=ky-hr所以r=y·k/h-m/h所以[α+e+g-βT0]/d-[1-β（1-t）]·y/d=y·k/h-m/h∴y={[α+e+g-βT0]/d+m/h}/{[1-β（1-t）]/d+k/h}dy/dg=1/[1-β（1-t）+dk/h注意：一般dy/dg﹤1/[1-β（1-t）]政府购买支出乘数，但h→∞，即LM曲线是水平状时，政府购买乘数=政府支出乘数27、证明货币政策乘数dy/dm=1/[1-β（1-t）*（h/d）+k]证明：由前面已经得到产品市场、货币市场都均衡时，y={[α+e+g-βT0]/d+m/h}/{[1-β（1-t）]/d+k/h}所以dy/dm=1/{[1-β（1-t）]/d+k}几点结论：其他参数既定时，h↑（货币需求对利率越敏感，LM曲线越平缓，货币政策的效果越小）其他参数既定时，d↑（投资需求对利率越敏感，IS曲线越平缓，货币政策的效果越大）28、证明宏观经济学中的总需求函数Y=f（P）（Y：总需求，P：价格水平）的斜率为负数。
证明：在IS-LM模型中考虑水平变化的情况下，建立Y*与P的关系IS：Y=C+I+GR=[a+b（TR-T0）+e+G0]/d-[1-b（1-t）·y]/d不妨令R=α-βY……………①LM:M/P=L1(Y)+L2(R)=kY-hR……………②由①代入②得：M/P=kY-h（α-βY）所以Y=[M/P+hα]/[k+hβ]，所以dy/dP﹤0结论：总需求曲线是向右下方倾斜的，即表示社会的需求总量与价格水平呈反比。