一、 引言
最短 路问题 是运 筹学中 的一 个重 要研究 对象 , 它在工程 技术、 企业 管理、 工农业 生产以及军事等 方 面有着 广泛的应用。关于最短路 问题的求解方法 也 很多 , 但它们都有一 些不令人满意的地 方 , 如有的 方 法 简捷 明 了 , 但适 用范 围 狭窄 , 有 的 方法 适用 范 围 广 , 但缺乏直观性和 易操作性 , 从 而解决一般的最 短 路问题对于普通人来说是较辛苦的。为此 , 作者通过 研究 , 得 到了一种 适用 范围广 泛、 直观 性强、 操作 简 便的处 理最短路问题的方 法。下 面将通过处理具 体 问题来介绍此法。
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→○ L → , 其长度为 a1 ) 。 下 面 列表计 算 f k ( i ) , 当 计算 出 f 4 ( i ) 或 尚未 计 算 到 f 4 ( i ) 但出 现了 ( 2. 2) 中的现 象即终止计 算。有 关 结果将 展现于 表中〈 对于在 计算过 程中无 须知 道 的数 据和本 来就没 有的数 据 , 在 下表 相应位 置我 们 以“ - ” 表示 , 若某 f k ( i ) 的结果 被填为 “ - ” , 则表 示 当 步数不 超过 K 时 , 从第 i 城 沿公 路无法 到达 第 5 城〉 。 Cij S 5 2 25 25 25 25 T ! ∀
第 11 卷第 2 期 达县师范高等专科学校学报( 自然科学版) 2001 年 6 月 Vol. 11 No. 2 Journal of Daxian Teachers Coll ege ( Natural Science Edition) Jun. 2001
关于最短路问题的一个简明表格处理法
图 中有向边 ( Ui , U j ) 上的 一数据 C i j 为该边的 长 度。 求结 点 U 1 到 其它各 结点的 最短 有向路 径及 其 长度。 解 以 f k ( i ) 表从 U 1 到 Ui 的步数 不超过 K 的 所 有通路中最短路径 的长度。令 U ( i ) = { j U j 到 Ui 存在有向边 } , 则有迭代公式如下
f k + 1 ( i ) = min { C j i + f k ( j ) }
j ∈U ( i ) j ≠i
k 为正整数 , i ∈ { 2,
f k ( 1) = 0 3, 4, 5, 6} 约定 若 f 1 ( i ) = a , 则记 f 1 ( i ) = a 1 i ∈ { 2, 3, 4, 5, 6} , 若 f k ( i ) = C j ′ ) = a ( k 为不小于 2 的 i + f k -1 ( j ′ 整数 ) , 则记 f k ( i ) = aj ′ i ∈ { 2, 3, 4, 5, 6} ( 它表示从 U 1 到 U i 的步 数不超过 K 的所有通路 中最短路 径的长 度为 a 且该路径的最后一步为从 Uj ′ 到 U i ( 简记为 U i ← Uj ′ ) > , 其它 有关约定参见问题 I 。 下 面列表 计算 f k ( i ) , 当计 算出 f 5 ( i ) 或尚 未计 算到 f 5 ( i ) 但 对其 正整数 n 出 现了 f n+ 1 ( i ) = f n ( i ) , 有关结果将展现于 i ∈ { 2, 3, 4, 5, 6} 时即终止计算。 表中 Ci j Vi U2 U3 U4 U5 U6 f 1( j ) f 2( j ) f 3( j ) f 4( j ) Uj U1 3 2 5 0 0 0 0 U2 U3 2 1 7 31 21 31 21 31 21 31 21 ( 表Ⅱ ) U4 5 51 33 33 33 U5 5 3 1 U6 102, 4 84 84
陈熙德
( 四川省畜牧兽医学院 基础部 , 重庆 荣昌 402460)
【 摘 要】 给出了求解短路问题的一类迭代公式和具 体求解时的一种简明的表格处理方法。 【 关键词】 最短路径 ; 迭代公式 ; 表格方法 [ 中图分类号 ] O 22 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 1008- 4886( 2001) 02- 0005- 02 i 城 和第 j 城间 的 边表 这两 城 间的 最短 直 通公 路 , ( 若某两 城间无 边 , 则 表该两 城间无 直通公 路 ) 无向 i ,○ j ] 上的 数据 C i j 表第 i 城与第 j 城 间最 边[ ○ 短直通公路的长度 ( i , j ∈ { 1, 2, 3, 4, 5} ) 。 求第 1, 2, 3, 4 城分别到 第 5 城的最短 公路路径 及其长度。 解 设 f k ( i ) 表从第 i 城到达第 5 城的步 数不超 过 K 的 所有通路 ( 沿公路 ) 中最短路径的长度。U( i ) i ○ j = { j 结点 ○ 与间有边 } , 则有迭代公式如下 f k + 1 ( i ) = min { C ij + f k ( j ) } j ∈U ( i ) j ≠i K 为正整数 , i ∈ f k ( 5) = 0 { 1, 2, 3, 4} 由题设和上式易知 ( 2. 1) f 4 ( i ) 必为第 i 城到 第 5 城 的最短 公路 路径 的长度 ( 因为 只有 5 个城且最 短路 径中不 含回 路 ) i ∈ { 1, 2, 3, 4} 。 ( 2. 2) 若对 某 正整 数 K , 出 现了 f k + 1 ( i ) = f k ( i ) , i ∈ { 1, 2, 3, 4} , 则必 有 f k ( i ) = f 4 ( i ) , 从而 f k ( i ) 必为第 i 城到第 5 城的最短公路路径的长度。 符号约定 若 f 1 ( i ) = a , 则记 f 1 ( i ) = a 5 , i 1, 2, 3, 4, 若 f k+ 1 ( i ) = C in + f k ( n ) = a < k 为正整数且 k ≥ 1> 则记 f k+ 1 ( i ) = a n , i = 1, 2, 3, 4 ( 它表 f ( k+ 1) ( i ) = a 且表 示从第 i 城 到第 5 城步数不超过 k+ 1 的最 短公 路路 径的第 1 步 为从第 i 城到第 n 城 〈 简 记为 i ○ i 表第 i 个城市 ( i = 1, 2, 3, 4, 5) , 第 图中 结点 ○ n 〉 →○ 。易 知 , 若 f k ( i ) = a j 1 , f k - 1 ( j 1 ) = aj22 , …… , f k - L ( j L ) = a 5 L + 1 , 则从第 i 城到第 5 城的步数不 i →○ j 1 →○ j 2 →…… 超过 K 的最短公 路路径为 ○
注 表中 f 2 ( 6) = 102, 4 表示 f 2 ( 6) = 102 或 f 2 ( 6) = 10 4 由表Ⅱ知 U1 到 U 2 的最 短路 径为 U 2 ← U 1 其长 度为 f 3 ( 2) = 3 。 U1 到 U 3 的最 短路 径为 U 3 ← U 1 其长 度为 f 3 ( 3) = 2 。 U1 到 U 4 的最短路径为 U 4 ← U3 ←U 1 其长度为 f 3 ( 4) = 3 U1 到 U5 无通路。 U1 到 U 6 的最短 路径为 U6 ← U4 ← U 3 ← U 1 其长 度为 f 3 ( 6) = 8 上面 , 我们通 过两 类问 题介绍 了求 解最短 路问 题的简 明表格 处理方 法 , 虽 然我们 所讨 论的问 题中 边上的 权均为 正数 , 但这种 方法对 边上 带负权 的图 仍然成立 , 限于篇幅 , 此处不再举例。
A N ote of W idth on the Limited Convex Body
Yang L u Xu Dan
Abstract : A g eomet ry inequality on the w idt h and vo lume o f the limited convex body is obtained as its application, t he w idth of sphere is m aximal in co nvex bodies that have so me vo lume Key words: lim ited co nvex body; widty ; g emoet ry inequality
A Simple Chart M ethod to Find the M inim um Pat h
Chen Xide
Abstract : T his paper offer s some it erat ive fo rmulae and a sim ple cha rt met ho d t o find the minimum path . Key words: minimum path; iterat ive fo rm ulae; char t method
5 2 2 1 5 7 1 1 5 5 1 3 f 1( j ) 75 55 35 0 f 2( j ) 63 44 35 0 3 4 5 f 3( j ) 5 4 3 0 f 4( j ) 53 44 35 0 ( 表Ⅰ ) 说明 : A 、 f 1 ( j ) 之值直接根据所给图填出。 B、 对每个正整数 K , f ( 5) 之值为 0。 对不小 于 2 的正 整数 K , f ( j ) < j ∈ k { 1, 2, C、 j 所在 行的数据与下半 表 3, 4} > 之值 为上半表中 ○ j 中 f k- 1 ( j ) 所 在行 的 对 应 数据 之 和 的 最小 值 ( 若 ○ 所 在行的 各元与 f k- 1 ( j ) 所在行 的每 组对应 元中 均 至少有一元为“ - ” , 则 f k ( j ) 的结果填为“ - ” )。 由表Ⅰ知 第 1 城到 第 5 城的最短公路路 径为 → 其 长 度为 f 3 ( 1) = 2 第 2 城到 第 5 城的最短公路路 径为 → → → 其长度为 f 3 ( 2) = 5 第 3 城到 第 5 城的最短公路路 径为 → → 其长度为 f 3 ( 3) = 4 第 4 城到 第 5 城的最短公路路 径为 → 其 长 度为 f 3 ( 4) = 3 问题Ⅱ 有一网络图如下