第三节圆的方程[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a,b),半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,(D2＋E2－4F＞0)圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2,半径12D2＋E2－4F点M(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线．2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),其中a,b为定值,r是参数；(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),其中r为定值,a,b是参数．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0,B＝0,D2＋E2－4AF>0. ()(4)若点M(x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)已知点A(1,－1),B(－1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝ 2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[AB的中点坐标为(0,0),|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22,所以圆的方程为x2＋y2＝2.]3．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定A[将点(m2,5)代入圆方程,得m4＋25>24.故点在圆外,故选A.]4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是()A．R B．(－∞,1)C．(－∞,1] D．[1,＋∞)B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k,此方程表示圆,则5－5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞,1)．故选B.]5．若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x－3y＝0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1A[由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为(a,1)(a>0),又圆与直线4x－3y＝0相切,∴|4a－3|5＝1,解得a＝2或a＝－12(舍去)．∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.]求圆的方程1. 过点A (1,－1),B (－1,1),且圆心在x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4C [AB 的中垂线方程为y ＝x ,所以由y ＝x ,x ＋y －2＝0的交点得圆心(1,1),半径为2,因此圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4,故选C.]2．已知圆心在直线y ＝－4x 上,且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2),则该圆的方程是________．(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 [过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3,与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1,－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22,故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.]3．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________． x 2＋y 2－2x ＝0 [法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),∴⎩⎨⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二：画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.][规律方法] 求圆的方程的方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径,写出方程. (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,求出a ,b ,r 的值； ②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值.与圆有关的最值问题►考法1 斜率型最值问题【例1】 已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,则yx 的最大值为________,最小值为________．3 －3 [原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设yx ＝k ,即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时|2k －0|k 2＋1＝3,解得k ＝±3.(如图所示)所以yx 的最大值为3,最小值为－ 3. ►考法2 截距型最值问题【例2】 已知点(x ,y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上,求x ＋y 的最大值和最小值． [解] 设t ＝x ＋y ,则y ＝－x ＋t ,t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距,∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值,即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径, 即|2＋(－3)－t |2＝1,解得t ＝2－1或t ＝－2－1. ∴x ＋y 的最大值为2－1,最小值为－2－1. ►考法3 距离型最值问题【例3】 已知M (x ,y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点,且点Q (－2,3)．求|MQ |的最大值和最小值；[解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0, 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8,∴圆心C 的坐标为(2,7),半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42, ∴|MQ |ma x ＝42＋22＝62, |MQ |min ＝42－22＝2 2.[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题.(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(1)如果实数x ,y 满足圆(x －2)2＋y 2＝1,那么y ＋3x －1的取值范围是________．(2)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线,则切线长的最小值为________． (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (2)7 [(1)(x ,y )在圆上,y ＋3x －1表示的是圆上的点(x ,y )与点(1,－3)连线的斜率,结合图象(图略),求出过点(1,－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在,另一条切线斜率设为k ,切线方程为kx －y －3－k ＝0,圆心到直线的距离等于半径,即|k －3|1＋k 2＝1,k ＝43,故取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. (2)切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得,圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22,圆的半径为1,故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.]与圆有关的轨迹问题【例4】 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°,求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上, 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4,故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ), 在Rt △PBQ 中,|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点,连接ON (图略),则ON ⊥PQ ,所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2, 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解. (2)定义法：根据圆的定义列方程求解. (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式求解.已知点A (－1,0),点B (2,0),动点C 满足|AC |＝|AB |,求点C 与点P (1,4)所连线段的中点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心,3为半径长的圆,方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.设M (x 0,y 0),则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4),代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9,化简得x 20＋(y 0－2)2＝94,故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.1．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,－7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN |＝( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 C [设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,则⎩⎨⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0,得y ＝－2＋26或y ＝－2－26,∴M (0,－2＋26),N (0,－2－26)或M (0,－2－26),N (0,－2＋26),∴|MN |＝46,故选C.] 2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4,b ＝2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,－2),右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,－2),(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4,r >0),则⎩⎨⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ,过点(2,0)的直线l 交C 于A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4,－2),求直线l 与圆M 的方程． [解] (1)证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l ：x ＝my ＋2, 由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0,则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212,x 2＝y 222,故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1,所以OA ⊥OB ,故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m , x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4, 故圆心M 的坐标为(m 2＋2,m ), 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2. 由于圆M 过点P (4,－2),因此AP →·BP →＝0, 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0, 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可知y 1y 2＝－4,x 1x 2＝4,所以2m 2－m －1＝0,解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时,直线l 的方程为x －y －2＝0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为10, 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时,直线l 的方程为2x ＋y －4＝0,圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12,圆M 的半径为854,圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。