习题答案88-1 1）二阶系统，2个状态变量。

设 2121212)(2)()( )()(x x t y t y t y x t y xx t y x --=--==⇒=== ， []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==00 01 2110 B y A A ，，，x x x 2)[]x x x 001 100322100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 3)[]x x x 121 100321100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 提示：本题利用了可控规范型与微分方程系数的关系。

8-2 1)23101)()(ss s U s Y += []x x x 001 1001000100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y u 2)815611171181891)()(23+⋅++⋅-⋅=++=s s s s s s s U s Y []x x x 001 100980100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=y u 或 x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=5617181111800010000y u 3) []x x x 145 1006116100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y u 提示：本题利用了状态空间的规范型与传递函数系数的关系。

8-38659122+++s s s8-4 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---==⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------t t t t tt t t t t Att x t x e e 11e 2e e2e 2e e e e 2)0(e )()(222221x 8-5 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=-==------t t t t s BU A sI t 3232113e 4e 1e e 21)]()[(L )()0(x 0x ， 8-6 [])(120)( )(100)(321100010)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 或 [])(100)( )(120)(310201100)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 或 [])(001)( )(111)(321100010)1(k k y k u k k x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+ 提示：利用状态空间的规范型与差分方程系数的关系。

8-7 []0110 3210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= C B A 下面是对该状态方程的求解过程。

设初始条件为零。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---23232231233321)(222211z z zz z z z z z z z z A zI⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++++--++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=---)1(6)1(2)2(32)1(6)1(2)2(3)1)(23()1)(23( 10)(110()(222111z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z A zI z z A)(zI BU(z)A)zI z X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+--+---==-61)1(21)2(3261)1(21)2(31)]([Z )(1kk kk z X k x 8-8 1) ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 10 0010B A 101])[(L e 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=--t A sI At)(21)(101)()d e ()(e )1(21d e 110101e 101e 2020k u T T k T k u t B k k T T t B t t B T T AtAT T AtAt AT⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⇒⎰⎰x x x ，2) ⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= 10 2010B A e 0)e 1(211])[(L e 2211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=----t t At A sI )()e 1(21)21e (21)(e 0)e 1(211)()d e ()(e)1()e 1(21)21e (21d e e )e 1(21e 2222022022k u T k k u t B k k T t B B T TT T TAtATT TT At t t At ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+=+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+=⇒⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=--------⎰⎰x x x8-9 1) 322123222126410)(x x x x x x x x V --++=- []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=3213214101103031x x x x x x 0361404101103031 091010331 01>--=---->-=-->，，-V (x )正定，V (x )负定。

2) 3132212322212624)(x x x x x x x x x x V ++---=- 0194334131341111 0144111 01 131341111<+-+--=----<--=--->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=，，，P故V (x )不定。

8-10 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1001 4121Q A 取 解方程 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⇒-=+60116076076023T P Q PA P A 渐近稳定。

正定，平衡状态大范围。

，P P 0 06023>> 提示：求P 的方法如下 1) 求P 的MATLAB 程序a =[-1 -2;1 -4] ；q =[1 0; 0 1]；p =lyap (a ’，q )2) 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211p p p pP ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1001412142112212121122121211p p p p p p p p 6011 607 6023 184052122 22121122122212111211=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+---=+-⇒p p p p p p p p p p8-11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001 3211Q A 取 解方程 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⇒-=+15.005.005.04.0T P Q PA P A 。

， 00625.0 04.0<-=>P 系统不稳定。

8-12 解法1 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=001323031A ，求A 的特征根的MATLAB 程序为： a =[1 3 0 ; -3 -2 -3 ; 1 0 0]，eig (a )特征根为 0.1173±j2.6974，-1.2346。

特征根在z 平面单位圆外，系统不稳定。

解法2 取 Q=I ，P 是对称阵，解方程 Q P PA A -=-T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------=⇒6538.44615.15.04615.16282.02564.05.02564.02463.0 P -0.2463<0，P 不是正定的，故系统不稳定。

求P 的MATLAB 程序： a =[1 3 0 ; -3 -2 -3 ;1 0 0] ; a 1=inv (a ), c = a 1, p =lyap (a ’,-a 1,c ) 8-13 解法13212,3101()0022021 02zK K zI A z z z z z z z K zK --=-=-=-=⇒==-<⇒<<，令解法2取 ⇒-=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== T332313232212131211Q P PA A p p p p p p p p p I ，， Q 解方程 22210024 00114300114K P K K⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦欲使P 为正定，只要04112>-K ，即 K <2。

8-14 可控性矩阵设为k Q 。

1)32)rank(0 210111210<==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k k k Q Q Q ，，，不可控。

2) 3)rank( 001111442211672312=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k k Q Q ，，可控。

3) 32)rank(0 222000111<==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=k k k Q Q Q ，，，不可控。

4) 3)rank( 020202040201442110=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k k Q Q ，，可控。

或，对角线标准型，输入矩阵任一行不全为零，可控。

5) 32)rank( 0270903000000844221<=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=k k Q Q ，，不可控。

或，对角线标准型，输入矩阵第二行全为零，不可控。

6) 32)rank( 442211442211452312<=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=k k Q Q ，，不可控。

8-15 1)[]110rank ) rank(=-=CAB CB ，可控，1个输出量。

2)21113rank )rank(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=CB ，可控（2个输出变量）。

2)rank(] rank[2==CB B CA CAB CB8-16 可观性矩阵为g Q1），可观。

3)(rank 8111231001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=g g Q Q 2），不可观。

1)(rank0180090060030020010=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=g g Q Q 3），可观。

3)(rank014404012202011101=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=g g Q Q4）23001000 rank()1 3 000000g g cQ Q c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==<⎢⎥⎢⎥⎣⎦，不可。

当a 、b 、c 、d 互不相等时，由于A 是对角线标准型，c 中有全零的列，故不可观。

8-17 的充要条件是 2)rank( 111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=k k Q b a Q 1 01-≠-≠--b a a b ，即时，既可控，又可观。