令 S1S2S3S4＝0000 ，可解得监督码元和信息码元之间的关系：
a3 = +a8 + a9 + a10 + a11 + a12 + a13 + a14 a2 = +a5 + a6 + a7 + a11 + a12 + a13 + a14 a1 = +a4 + a6 + a7 + a9 + a10 + a13 + a14 a0 = +a4 + a5 + a7 + a8 + a10 + a12 + a14
中的校正子，则可假设校正子 S1、S2、S3、S4 的值与错码位置的对应关系如下：
S1 S2 S3 S4 0001 0010 0100
错码位置 a0 a1 a2
S1 S2 S3 S4 1001 1010 1011
错码位置 a8 a9 a10
1
1000
a3
0011
a4
0101
a5
0110
a6
0111
a11 a12 a13 a14 无错码
8-5．已知（7，3）码的生成矩阵为
⎡1001110 ⎤ G = ⎢⎢0100111⎥⎥
⎢⎣0011101⎥⎦
（1） 列出该码的所有码字； （2） 求出此码的监督矩阵 H； （3） 计算当接收码字为（1101101）时的校正子，并判断该码字是否正确？ （4） 这种码的检、纠错能力如何？
解发送信息序列。 解： 8-10．一个（63，36）BCH 码可以纠正 5 个 错 误 ，（7，4）码的 9 个分组可以纠正 9 个
错误，两种码具有相同的编码效率。 （1）（ 7，4）码能纠正更多的错误，它是否更强大？请解释。 （2）比较 63bit 中随机出现 5 个错误时两种码的性能。
实践项目
1．请查阅有关资料，找出有哪些差错控制编码？并把这些控制编码归类，说明各自的 检、纠错能力，编码效率以及应用场合，最后总结成一篇小论文。
2．在数据通信和计算机网络中，CCITT 推荐在高级数据链路控制规程 HDLC 中的帧校
验序列 FCS 中，使用 CCITT-16 的 CRC 码，其生成多项式 g(x) = x16 + x15 + x5 +1 ，请（1）
设计出 CRC 编码的硬件线路图，并做成实物，加以验证；（2）用单片机汇编语言或 C 语言 编程实现，并用单片机仿真器进行调试；（3）用 VHDL 语言加以实现，并在相应的 FPGA 芯片上进行仿真、调试以及硬件下载。如果实验条件受限，可以选择其中之一来做。
（3）校正子
S
=
BH T
=
(1101101)
⎢⎢1000
⎥ ⎥
= [0100] ， ST
正好是
H
中的第五列，因此错
⎢0100⎥
⎢⎥ ⎢0010⎥
⎢⎣0001⎥⎦
误图样 E = [0000100] ，因此该码字不正确，并且可以纠正为[1101001]
8-6．已 知（ 7，4）循环码的全部码字为 0000000 0001011 0010110 0011101 0100111 0101100 0110001 0111010 1000101 1001110 1010011 1011000 1100010 1101001 1110100 1111111，请写
出该码的生成多项式 g(x) 、生成矩阵多项式 G(x) 和生成矩阵 G ，并将 G 化成典型阵。
解：生成多项式 g(x) 是一个常数项为 1 的 n − k 次多项式，而且是 xn +1 的一个因子， 而 且 是 循 环 码 中 的 一 个 码 字 ， 此 题 中 ， n=7 ， k=4 ， x7 +1 = (x +1)(x3 + x +1)(x3 + x2 +1) ，这样可以从循环码中找到 g(x) = x3 + x +1；
a7
1100 1101 1110 1111 0000
根据 S1、S2、S3、S4 的值与错码位置的对应关系，可得到
S1 = a3 + a8 + a9 + a10 + a11 + a12 + a13 + a14 S2 = a2 + a5 + a6 + a7 + a11 + a12 + a13 + a14 S3 = a1 + a4 + a6 + a7 + a9 + a10 + a13 + a14 S4 = a0 + a4 + a5 + a7 + a8 + a10 + a12 + a14
译成什么码字？ （4） 此码能纠正几位码元的错误？ 解 ：（ 1）分别对（11100），（ 01001），（ 10010）和（00111）两两求码距，可以得到码距 只有 3 和 4，因此最小码距 dmin=3； （2）此码的编码效率η＝2/5＝0.4 （3）根据码距与纠错能力的关系可知，可以纠正一位错，因此根据最大似然准则译码， （10000），（ 01100）和（00101）可分别译成（10010），（ 11100）和（00111） （5） 根据码距与纠错能力的关系可知，能纠 1 位错。
8-4．假定汉明码的码长 n 为 15，请问其监督位 r 应为多少？编码效率为多少？并写出 监督码元与信息码元之间的关系。
解：码长 n 和监督码元个数 r 之间的关系式为 n = 2r −1 = 15 ，因此 r = 4 ；编码效率 η = k = n − r = 11
n n 15 因为监督位 r = 4 ，所以有 4 个监督关系式。现用 S1、S2、S3、S4 表示 4 个监督关系式
⎢0010110⎥ ⎢⎣0001011⎥⎦
，将
G
⎡1000101 ⎤
化成典型阵，进行以下步骤：（a）将 G 的③行+④加到第①行，变成 ⎢⎢0101100⎥⎥ ，（ b） ⎢0010110⎥ ⎢⎣0001011⎥⎦
⎡1000101 ⎤
在此基础上再将④行加到第②行，得到
G典型
=
⎢⎢0100111⎥⎥ ⎢0010110⎥
⎡101⎤
⎡1011000⎤
Q
=
⎡111011⎥⎥ ，因此监督矩阵 ⎢110⎥
H 为： H
= [P, Ir ] =
⎢⎢1110100⎥⎥ ⎢1100010⎥
⎢⎣1101⎥⎦
⎢⎣011⎥⎦
⎢⎣0110001⎥⎦
2
⎡1110 ⎤
⎢⎢0111⎥⎥
⎢1101 ⎥
水平偶校验、二维偶校验，假定从低位开始发送请分别求出传输 DEF 时的发送序列。
表 8-2 D、E、F 的 ASCII 码表示
b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
D
1000100
E
1000101
F
1000110
解：水平偶校验：传输 DEF 时的发送序列为 00100010 10100011 01100011；
3．请用 FPGA 来实现（2，1，3）卷积码编码器，要求在相应的 FPGA 芯片上进行仿 真、调试以及硬件下载。
4
习题
8-1．若二维奇偶校验码中的码元错误位置发生情况如图题 1 所示，请问能否将这些错 误检测出来？
解：不能检测出这些错误。因为在二维奇偶校验码中，只有当每行或每列中有奇数个错 误时，才能检测出来。而图中所示的行和列恰好都有偶数个错误，故检测不出来。
8-2．在题表 8-2 中给出了字母 D、E、F 的 7 比特 ASCII 码表示，假定分别用偶校验、
则 T (x) = xn−k m(x) + r(x) = x14 + x12 + x10 + x7 + x5 + x
8-8 ． 已 知 （ 2 ， 1 ， 3 ） 卷 积 码 编 码 器 的 输 出 与 信 息 m1 ， m2 和 m3 的 关 系 为
y1 = m1 + m2 ， y2 = m2 + m3 。
⎢⎣0001011⎥⎦
8-7．（ 15，5）循环码的生成多项式如下： g(x) = 1+ x + x2 + x5 + x8 + x10 。
（1） 画出该码的编码器框图；
（2） 求出消息 m(x) = 1+ x2 + x4 的码多项式。
解 ：（1） 略 ；（ 2）T (x) = xn−k m(x) + r(x)
（1） 请画出编码器电路； （2） 请画出卷积码的码树图、状态图和网格图； （3） 当信息序列为 1011 时，求它的输出码序列。 解 ：（ 3）11010010
8-9 ． 已 知 （ 2 ， 1 ， 3 ） 卷 积 码 编 码 器 的 输 出 与 信 息 m1 ， m2 和 m3 的 关 系 为
y1 = m1 + m2 ， y2 = m1 + m2 + m3 ，当接收码序列为 1000100000 时，试用维特比译码法求
解 ：（ 1 ） 已 知 n = 7 ， k = 3 ， 所 以 r = 4 ， 因 此 该 码 组 的 许 用 码 字
A = (a6, a5, a4) • G ，列出所有许用码字如下：0000000，0011101，0100111，0111010，
1001110，1010011，1101001，1110100； （2）已知生成矩阵 G 为典型阵，有
⎡x3g(x)⎤ ⎡x6 + x4 + x3 ⎤
⎡1011000 ⎤