第九章 平面解析几何
第5讲 椭 圆
第九章 平面解析几何
1．椭圆的定义 条件
平面内的动点 M 与平面内 的两个定点 F1，F2 |MF1|＋|MF2|＝2a 2a＞|F1F2|
结论 1
M 点的 轨迹为 椭圆
结论 2 _F_1_、__F_2_为椭圆的
焦点 __|F__1F__2|_为椭圆的
焦距
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性质 对称性
对称轴：__x_轴__、__y_轴_______ 对称中心：(0，0)
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
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标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
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2．已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点．若△AF1B
的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x32＋y22＝1
B．x32＋y2＝1
C.1x22 ＋y82＝1
椭圆的定义及应用(高频考点) 椭圆的定义是每年高考的重点，题型既有选择、填空题， 也有时出现在解答题的已知条件中．主要命题角度有： (1)利用定义求轨迹方程； (2)利用定义解决“焦点三角形”问题．
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[典例引领] 角度一 利用定义求轨迹方程
(1)如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点， P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交 于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是( ) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
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[通关练习]
1．设 P 是椭圆2x52＋y92＝1 上一点，M，N 分别是两圆：(x＋
4)2＋y2＝1 和(x－4)2＋y2＝1 上的点，则|PM|＋|PN|的最小值
和最大值分别为( )
A．9，12
B．8，11
C．8，12
D．10，12
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[通关练习] 1．已知 F1，F2 分别是椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右
焦点，点1，
22在椭圆上，且点(－1，0)到直线
PF2 的距离
为455，其中点 P(－1，－4)，则椭圆 E 的标准方程为( )
A．x2＋y42＝1
B．x42＋y2＝1
C．x2＋y22＝1
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1.在本例中增加条件“△PF1F2 的周长为 18”，其他条件不 变，求该椭圆的方程． 解：由原题得 b2＝a2－c2＝9， 又 2a＋2c＝18，所以 a－c＝1，解得 a＝5， 故椭圆的方程为2x52 ＋y92＝1.
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2.在本例中的条件“P→F1⊥P→F2”“△PF1F2 的面积为 9”分别 改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3 3”，结果如何？
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已知椭圆2x52＋my22＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4，0)，则 m＝
() A．2
B．3
C．4
D．9
解析：选 B．依题意有 25－m2＝16，因为 m>0，所以 m＝3. 选 B．
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(教材习题改编)椭圆 C 的一个焦点为 F1(0，1)，并且经过
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2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
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标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
－a≤x≤a 范围
－b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
＝12×43b2× 23＝ 33b2＝3 3， 所以 b＝3.
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椭圆定义的应用 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与 两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周 长、面积、弦长、最值和离心率等． (2)椭圆的定义式必须满足 2a>|F1F2|.
点 P(32，1)的椭圆的标准方程为( )
A.x42＋y32＝1
B．x22＋y32＝1
C.x32＋y22＝1
D．y42＋x32＝1
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解析：选
D. 由 题 意 可 设 椭 圆
C
的标准方程为
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)，且另一个焦点为 F2(0，－1)，
所 以 2a ＝ |PF1| ＋ |PF2| ＝
轴
焦距 性质
离心率
长轴 A1A2 的长为___2_a__ 短轴 B1B2 的长为___2_b___
|F1F2|＝__2_c___
c e＝__a_____，e∈(0，1)
a，b，c 的关系
c2＝_a_2_－__b_2_
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判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是 椭圆．( × ) (2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a ＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × )
＝
1
表示椭圆，则
k
的取值范围是
________．
解析：由已知得k5－－3k>>00，，
解得 3<k<5 且 k≠4.
5－k≠k－3，
答案：(3，4)∪(4，5)
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(教材习题改编)椭圆 C：2x52＋1y62 ＝1 的左右焦点分别为 F1， F2，过 F2 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，则△F1AB 的周长 为________．
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求椭圆标准方程的 2 种常用方法 根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位 定义法 置可写出椭圆方程 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合 待定系 已知条件求出 a、b；若焦点位置不明确，则需要 数法 分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭 圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B).
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(2)已知两圆 C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动
圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆
心 M 的轨迹方程为( )
A.6x42－4y82 ＝1
B．4x82＋6y42 ＝1
C.4x82－6y42 ＝1
D．6x42＋4y82 ＝1
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(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭 圆．( √ ) (5)ay22＋xb22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．( × ) (6)xa22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋xb22＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
点，则该椭圆的标准方程为( )
A.x52＋y2＝1
B．x42＋y52＝1
C.x52＋y2＝1 或x42＋y52＝1 D．以上答案都不对
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(2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)
是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的
D．1x22 ＋y42＝1
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解析：选 A.由题意及椭圆的定义知 4a＝4 3，则 a＝ 3，
又ac＝
c＝ 3
33，所以
c＝1，所以
b2＝2，
所以 C 的方程为x32＋y22＝1，选 A.
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椭圆的标准方程
[典例引领]
(1)若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶
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解析：△F1AB 的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB| ＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a. 在椭圆2x52＋1y62 ＝1 中，a2＝25，a＝5， 所以△F1AB 的周长为 4a＝20. 答案：20
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322＋（1－1）2 ＋
322＋（1＋1）2＝4. 所以 a＝2，又 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝3. 故所求的椭圆方程为y42＋x32＝1，故选 D.
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(教材习题改编)椭圆 C 的长轴长是短轴长的 3 倍，则 C 的
离心率为( )
A.
6 3
B．
2 3
C.
3 3
D．2 3 2
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解析：选 D.不妨设椭圆 C 的方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，则 2a ＝2b×3，即 a＝3b.所以 a2＝9b2＝9(a2－c2)． 即ac22＝89，所以 e＝ac＝232，故选 D.
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若