例 在半径等于5cm 的圆内有长为53cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）． （A ）60°或120° （B ）30°或120° （C ）60° （D ）120° 解：如图， OA ＝OB ＝5cm ，AB ＝53cm ．过O 作OC 上AB 于C ，
则AC=
325AB 2
1 cm ．∵sin α
= 2
3
5/325OA AC ∵α为锐角，∴α=60°． ∴∠AOB=120°．
当圆周角的顶点在优弧
上时，得∠ADB=60°；当圆周角的顶点在劣弧上时．得
∠AD’B ＝120°．
∴此弦所对的圆周角为60°或120°．
说明：此题为基础题，求一条弦所对的圆周角．圆周角的顶点可以在这条弦所对的优孤上，也可以这这条弦所对的劣弧上．
例 （河南省，2002）已知：如图，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF :FC =5:1，AB=8，AE=2．求EC 的长．
分析：连结BE ，构造直角三角形，并出现典型的双垂直图形，通过解直角三角形解得． 解：如图，连结BE ，则BE ⊥AC ， ∴6028AE AB BE 2
2
2
2
2
，
设BF=5x ，BC=6x ．
∵EF ⊥BC ，∠EBF=∠CBE ，
∴△BEF ∽△BCE ，∴BC BF BE 2
．即60=5x ·6x ，∵FC>0，∴2x
．
∴26x 6BC ，∵126072BE BC EC 2
2
2
，∴22EC ．
说明：①添加辅助线，构造直角三角形；②构成典型的双垂直图形，非常重要．
例 （陕西省，2002）已知：如图，BC 为半圆O 的直径，F 是半圆上异于B 、C 的一点，A 是
的中点，AD ⊥BC 于点D ，BF 交AD 于点E ．
（1）求证：BE ·BF=BD ·BC ；
（2）试比较线段BD 与AE 的大小，并说明道理． 分析：（1）连结FC ，证△BDE ∽△BCF 即可；（2）要比较两条线段的大小，通常是把两条线段转移到一个三角形内，利用大角对大边来判断． 证明：（1）连结FC ，则BF ⊥FC ． 在△BDE 和△BCF 中，
∵∠BEC=∠EDB=90°，∠EBC=∠EBD ，∴△BDE ∽△BCF ．
∴BF
BD BC BE ，即BE ·BF=BD ·BC ． 解：（2）AE>BD ，连结AC 、AB ，则∠BAC=90°，∵
=
，∴∠1=∠2．
又∵∠2+∠ABC=90°，∠3+∠ABD=90°，∴∠2=∠3，∴AE=BE ． 在Rt △EBD 中，BE>BD ，∴AE>BD ．
B
说明：①训练学生添加辅助线；②第（2）小问是教材P102中3题的拓展．
例 （太原市，2002）如图，已知BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于E ，且AE=BF ． （1）求证：
=
；
（2）如果sin ∠FBC=5
3
，AB 54 ，求AD 的长．
解：（1）连结AC ．∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°， 又AD ⊥BC ，垂足为D ，∴∠1=∠3．
在△AEB 中，AE=BE ，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3，
=
．
（2）设DE=3x ，∵AD ⊥BC ，sin ∠FBC=5
3
，∴BE=5x ，BD=4x ． ∵AE=BE ，∴AE=5x ，AD=8x ．
在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，AB 54 ，∴222)54()x 4()x 8( ．
解这个方程，得 x=1，∴AD=8．
说明：①此题是教材P102中3题的变形；②训练学生求线段长度的方法：直接求和列方程求解．
典型例题五
例 如图，等腰三角形中，AC AB ，顶角为 40，以其一腰AB 为直径作半圆分别交AC 、BC 于E 、D ，求
的度数.
分析：一般在圆或半圆中要作出一些辅助线构成直角.
本题若连结AD ，则AB 为直径，AD 和BC 互相垂直，再应用等腰三角形三线合一的性质，问题就解决了.
解 连结AD ，AB 为直径， BC AD
又AC AB ，
202
1
BAC BAD ，
40，同理， 40，
1004040180
说明：弧的度数等于它所对的圆心角的度数，也等于它所对的圆周角的度数的2倍.已知中有关于直径的条件时，常添辅助线使之构成直角三角形.
典型例题六
例 （辽宁省试题，2002）已知：如图，AB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作直线AB CD 于D （DB AD ），点E 是DB 上任意一点
（点D 、B 除外），直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF 与直线CD 交于点G .
（1）求证：AF AG AC 2
；
（2）若点E 是AD （点A 除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明，若不成立，请说明理由.
（1）证明： 证法一：
延长CG 交⊙O 于H
AB CD ，∴
∴CFA ACG 又FAC CAG ， ∴ACG ∽AFC ∴AC
AF AG AC 即AF AG AC 2
证法二：
连结CB
AB 是直径， 90,ADC ACB AB CD
∴Rt CAD ∽Rt BAC ∴ABC ACD 又AFC ABC ， ∴AFC ACD 又FAC CAG ， ∴ACG ∽AFC ∴
AC
AF
AG AC 即AF AG AC 2。