数学教学典型案例分析
西华师范大学数学与信息学院
杨孝斌
如何培养学生的数学学习兴趣 ？？？
数学教学案例分析之一 ——
“糖水浓度与数学发现”系列活动课
道 具：一缸清水 一罐白糖 大大小小的玻璃杯若干个
大家都知道：
浓度
溶质 溶液
活动课之一——等比定理的发现
分成三小杯
第一杯浓度 a1 b1
第二杯浓度 a2 b2
y2 yz z2 z2 zx x2 x2 xy y2
………… ⑩
现在以x、y、z为边的三个夹角都是120°， 恰好拼成一个周角，作图如下：
C
y
z
D
A
x
B
同样我们有与 x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 类似的共9个不等式（即“前两个根式中有一个的 交叉项为负、其余为正”或者“前两个根式中有 一个的交叉项为正、其余为负”）成立.那么，如 果要仿上作出图形利用“余弦定理”和“三角形 两边之和大于第三边”来证明它们，所作的图形 又是怎么样的呢？
一般地，设 b a 0， m 0， 则有不等式：a a m m ( 1)成立.
b bm m
新的发现：
借助不等式a a m m 可得 b bm m
1 2 3 4 99 9999
2345
100
10000
在数轴上描点表示，可作为极限
lim n
n
n
1
1的发现情境.
m3b3
0，且 a1 b1
a2 b2
a3 ，则有： b3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
＝
m1a1 m1b1
m2 a2 m2b2
m3 a3 m3b3
m1a1 m2a2 m3a3 . m1b1 m2b2 m3b3
学生6：
若设三小杯糖水的质量分别为n1、n2、n3，
n1 则可得混合后的浓度为
相信经历过这样的数学活动的学 生，等到他将来长大以后购买地板砖 准备家庭装修时仍然能够清楚的回忆 起当年他在这堂课中所设计的美丽图 案.如果是这样的话，作为一个数学教 育工作者，应该开心微笑了.
第三杯浓度 a3 b3
请问：三小杯糖水的浓度有何关系？ 由于三小杯的糖水都是由大杯倒出的，显然有：
a1 a2 a3 ……① b1 b2 b3
现在把三小杯糖水倒入一个空的大杯子：
倒入一个大杯
第一杯浓度 a1 b1
第一杯浓度 a2 b2
第一杯浓度 a3 b3
请问：混合后糖水的浓度与原三个小 杯糖水的浓度有何关系？
A
z
x
B
y
D
C
一共有几种情形呢？
A
z
x
B
y
D
C
A
z
x
y
B
C
B D
A
z y
x
C
D
由以上三图知，不等式④应修正为：
x2 xy y2 y 2 yz z 2 z 2 zx x2 ………… ⑤
同理有类似的结论：
z 2 zx x2 x2 xy y2 y2 yz z 2
………… ⑥
由排列组合的知识知道，这是一个 可重复排列的问题，应有44= 256种不同 的情形.
是不是有这么多呢？这256个不同的图案中有没有重 复的呢？为了说明问题，再来看思路二.
思路二：（1）如下图，先将三个小正方形的 位置固定，旋转带*的小正方形.这样就得到 三个不同于初始图案的图案.
（2）那么，运用排列组合的知识， 如果有两个小正方形同时按不同方 向（旋转方向互不关联）分别旋转 （为避免重复，只考虑两个都旋转 的情形.否则回到（1））.这里分为 同时旋转两个相邻的小正方形和同 时旋转两个对角的小正方形两种情 形，共有3×3×2 = 18种不同的图 案.
依余弦定理得：
x
y
A
z
C
AB x2 xy y2 ,
B
BC y2 yz z 2 ,
CA z 2 zx x2 .
因为三角形两边之和大于第三边， 所以在△ABC中，有
AB BC CA
即不等式 x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2成立.
S
x
y
A B
z
C
很显然，同样有下面两个不等式成立：
z2 zx x2 x2 xy y2 y2 yz z2
………… ②
y2 yz z2 z2 zx x2 x2 xy y2
………… ③
到这里不仅要想，我们适当增大最后一个根 号内的值，不等式是否成立？即是下述不 等式是否成立？
x2 xy y2 y2 yz z 2 z 2 zx x2
接下来的问题是：这130种图案中有没 有重复的？如果有，重复了几种？这个问 题的最终结果应该是多少种不同的图案？ 请读者自行解决.
3. 教学与反思
笔者曾经在小学4、5、6年级的数学课外 活动中运用该题进行过数学活动课教学，让学 生用制作好的四块小正方形卡片来拼图，学生 的学习兴趣非常高，收到了良好的教学效果. 通过这样的数学活动，使学生能够既动脑又动 手，同时还需要用眼观察，用嘴讨论，用心体 会，让学生体验到数学活动的乐趣、欣赏到几 何图形的美.
学生1：混合后的糖水浓度为
a1 a2 a3 b1 b2 b3
由生活常识知，三小杯糖水的浓度与混合后的糖 水浓度相等，即是：
a1 a2 a3 a1 a2 a3 ……② b1 b2 b3 b1 b2 b3
这就是等比定理： 若 ① 即 ②.
从“糖水情境”到“等比定理”，这中间有一 个从具体事实到形式化抽象的数学过程，前 者是“具体的模型”，后者是“抽象的模 式”，两者之间有“质”的区别.
bi 糖水的浓度值吗?
学生4：还是！！！
老师问： 为什么？ 此时a1 a2 a3已经不是3杯 糖水中的糖的总合! b1 b2 b3也不是糖水的总合了！
学生4：此时式子②虽然不是混合糖水浓度定义 的直接式子，但在数值上并没有变！
学生4：这是因为
若设三小杯糖水的浓度本应是 mi ai ,式子 mi bi
学生８：老师，我明白了！
可设b克糖水
中含
有a克糖，
浓度
为p1＝
a b
，
加糖m克
后，
浓度p
＝
2
a b
m m
m 0,
此时有：a a m . b bm
学生９：同样可以考虑约分的情形 ！
一般地，设 b a 0， m 0， k 0 则有不等式：a ak m 讨论的真分数，于是又有：
请大家仔细思考这个问题！
数学教学案例分析之三 ——
一道有趣的开放题
1. 问题的提出 已知图形如下：
请记住这道题 目，并根据排列组合 的知识推算这样的不 同图形共有多少个？
现保持阴影部分的面积大小，该图 形可以变化为如下一系列图形：
假设规定正方形的边长不变，相 应地，圆的半径（正方形边长的一半） 也不变，同时规定只能用半圆和圆心 角为90°的扇形去分割这个正方形并 保持阴影部分的面积不变.画出尽可 能多的不同分法，选出你喜欢的图形 并说明你喜欢的理由.
m1a1 m2a2 m3a3 表示了混合糖水的浓度, m1b1 m2b2 m3b3 由等比定理知道， m1a1 m2a2 m3a3 m1a1 m2a2 m3a3 . m1b1 m2b2 m3b3 m1b1 m2b2 m3b3
学生5：
从而我们得到命题：若b1b2b3 0，
m1b1 m2b2
正数，并且bi ai 0 .
只能是
而“等比定理”中的ai，bi 不需要这么多限
制，只要有
bi
0 b1 b2
(i 1,2,3) b3 0
就够了.
老师转问学生1：为什么说②式是混合后的浓度？
学生1： 因为a1 a2 a3是3杯糖水中的糖的总合， b1 b2 b3是3杯糖水的总合，根据浓度公式即得. 学生3：
a b
，
加糖后的糖水更甜了，则一定存在c 0,
得：. a a c. bb
老师问：很好！这里的c 表示什么？
学生７：表示加糖了！ 老师问：c 表示所加的糖的质量吗？浓度与质量 可以直接相加吗？
学生７：c不是糖的质量，而是浓度的增加量.
老师问：那你这个式子只是反映了浓度的增加， 并没有反映出浓度增加的原因－－糖的增加.那么 如何把“因为糖的增加而使糖水浓度增加”这个 事实反映出来呢？
关于糖水的浓度问题，我们还可以从中发现
“中间不等式”并由此得出“定比分点公
式”，并可以从中找到很多很有意义的数学
模型.感兴趣的老师可以参阅——《中学数
学课例分析》 （罗增儒 著
陕西师
大出版社 2001.7出版）
数学教学案例分析之二 ——
一个不等式的证明与变式
例：设 x, y, z R ，求证：
x2 xy y2 y2 yz z 2 z 2 zx x2
………… ①
思路分析：不等式的证明用常规方法似乎难以奏效.仔细观 察上式中三个根式的结构特征，可以发现：
x2 xy y 2 x2 y 2 2xy cos60, y 2 yz z 2 y 2 z 2 2 yz cos60, z2 zx x2 z2 x2 2zx cos60.
2. 问题解决的思路
为了解决这个问题，我们还得回到最 初的图形.先将原图分成四部分，如下：
思路一：将上图沿虚线剪开，该问题
则转化为用以下的四个小正方形去填充一 个空白正方形的问题.
a
b
c
d
填充
事实上，上面的四个小正方形（通过旋 转后）是完全一样的.但为了说明问题，我 们将它们的位置固定下来，看作四个不同 的图形，分别记为a，b，c，d ，现在用这 四个小正方形去填充，考虑一共能组成多 少种不同的图案.