说明，在当前的情况下， 钢材是有剩余的，煤炭 和设备才是企业的瓶颈。
再增加一台时设备，利润会增加 6/7
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对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义
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2）根据对偶理论的互补松弛性定理: 生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源 的子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种 资源在生产中已耗费完毕。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
对偶性质
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性质2 弱对偶原理(弱对偶性)：设 X 0 和 Y 0分别是问题(P)和 (D)的可行解，则必有 n m max Z=C X 0 0 CX Y b 即： c j x j yi bi s.t. AX≤b j 1 i 1
推论1: 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶 问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可 行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。 推论2: 在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中 一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无 可行解。这也是对偶问题的无界性。
对偶问题的经济解释－影子价格
3）影子价格是一种机会成本
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影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价， 这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说， 它是一种机会成本。
若第i 种资源的单位市场价格为mi ，则有当yi* > mi 时，企业愿意 购进这种资源，单位纯利为yi*－mi ，则有利可图；如果yi* < mi ， 则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi * ，否则，企业 无利可图，甚至亏损。 结论：若yi* > mi 则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi 若yi* < mi则转让资源i ，可获单位纯利mi－yi
说明：只需要求出(P)或（D）中任一个的最优解和最优值， 即可得到另一个的最优解和最优值。 定理结论对任一形式的对偶问题成立。
对偶性质
性质5 互补松弛性：
在线性规划问题的最优解中： 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则 该约束条件取严格等式； 反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对 偶变量一定为零。
y1=5/3, y2=1/3 出售一些工时，反之则反
对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义 1）影子价格是一种边际价格
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在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起 的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的 影子价格。即：
Z * y i * ( i 1,2 m ) bi 当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1就是影子价格向量。
第二章 线性规划的对偶理论及 灵敏度分析
Operational Research ( OR )
线性 规划 的对 偶问 题与 灵敏 度分 析
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 影子价格 对偶单纯形法 灵敏度分析 参数线性规划

对偶问题的经济解释－影子价格
I
A B C 利润 3 6 4 20
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现有A/B两种产品，他们对资源的消耗和市场售价如 表所示，试决定他们是否值得生产？ 决策依据： • 比较新产品的市场价格和它消耗资源的按影子价 格计算的隐含成本的差异，如果市场价格低于隐 含成本，不应该生产，如果高于隐含成本，可以 生产。 • 市场价格低于隐含成本，不是说它会亏本，而是 指它会减少其他产品所创造的贡献（因为影子价 格大于零，资源是稀缺的） • 影子价格是一种机会成本
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对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义 1）影子价格是一种边际价格
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在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起 的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi 就是第 i 种资源的 影子价格。即：
Z * y i * ( i 1,2 m ) bi 当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1就是影子价格向量。
X ≥0 min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
对称形式的对偶问题
对偶性质
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推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如 P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数 值无界。
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， Y 0是其对偶 问题的可行解，并且:
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II
2 6 3 30 100 60 200
原问题考虑：如何安排生产，使得企业获利最大？
对偶问题考虑：现有的资产应该以什么样的价格出让？
在资金富余的条件下，要增加投资，我们应该投资哪种资源？ 考虑：增加一个单位的A/B/C，利润的增加值有多大？
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如果还有现金，应该如何增加投资？
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决策依据： 考虑单位材料对目标函数的增量贡献，就是它的影子价 格，比较影子价格与市场价格的关系。 如果材料的影子价格大于市场价格，意味购入材料产生 的贡献大于它的市场价格，可考虑购入 如果材料的影子价格小于市场价格呢？
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yj ( j 1,..., m) yj 0 变量 yj 0 yj无约束
对偶性质
性质1 对称性定理：对偶问题的对偶是原问题
设原问题(P)为 设对偶问题(D)为
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max Z=C X s.t. AX≤b X ≥0
min W= Y b s.t. YA ≥ C Y≤0
A
b C 目标函数
约束系数矩阵
约束条件的右端项向量 目标函数中的价格系数向量 max z=∑CjXj
对 应 关 系 总 结
x j ( j 1,..., n) xj 0 变量 xj 0 x 无约束 j
有m个（j=1，...,m） n aijxi bj i=1 约束条件 n aijxi bj i=1 n aijxi bj i=1
CX 0 BY 0
即 : z＝w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
对偶性质
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性质4 强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则 两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若(P)存在最优解 X 0 ，B是对应最优解 的基，则(D)一定存在最优解 Y 0 =CB B-1。
对偶问题的经济解释－影子价格
I
A B C 利润 3 6 4 20
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II
2 6 3 30 100 60 200
在资金富余的条件下，要增加投资，我们应该投资哪种资源？
考虑：增加一个单位的A/B/C，利润的增加值有多大？
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再增加一吨钢材，利润不会增加
再增加一吨煤炭，利润会增加 32/7
是否要生产呢？
A
B
C
拥有量
工 时
1
1 2
1
4 3
1
7 3
3
9
影 子 价 格 举 例
材 料 单件利润
y1 minW (3,9) 即工时的影子价格为5/3， y 2 材料的影子价格为1/3。 1 1 2 y1 如果目前市场上材料的价 格低于 1/3 ，则企业可以 y 3 1 4 购进材料来扩大生产，反 s.t.1 7 2 3 之可以卖掉部分材料。 y1 如果有客户以高于5/3 0 的价格购买工时，则可以 y2
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习题
2.16
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对偶问题的经济解释－影子价格
影子价格的经济意义
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2）根据对偶理论的互补松弛性定理: 生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源 的影子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种 资源在生产中已耗费完毕。
对偶问题的经济解释－影子价格
3）影子价格是一种机会成本
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影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价， 这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说， 它是一种机会成本。
项目
原问题（对偶问题）
Page 24 对偶问题（原问题）
其约束系数矩阵的转置
目标函数中的价格系数向量 约束条件的右端项向量 min w= ∑ biyi
有n个（j=1，...,n） m aijyi cj i=1 m 约束条件 a ij y i c j i=1 m a ij y i c j i=1