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第2章 优化设计的数学模型及基本要素


9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 4 x1 + 5 x 2 ≤ 200
2-2 数学模型的三要素及一般形式
无论什么样的优化设计问题,尽管其物理概念不同,但 数学模型一般均由设计变量 、 目标函数和约束条件组成,称其为三要素。 2-2-1 设计变量 ( Design Variable) 1) 设计变量 在机械设计中,一个零件、部件或是一台设备的设计方案,通常是由一组基本参数来 确定和表示的。在设计中,选择哪些参数表示一个设计方案,需要根据各种设计问题的性质 来定。有的可以用几何参数,如零件的外形尺寸、截面尺寸、机构的运动学尺寸等;有的可 用某些物理量,如构件的重量、惯性距、频率、力和力矩等;还有的可用一些代表工作性能 的导出量,如应力、扰度、冲击系数等。总之,这些基本参数是对设计指标性能好坏有直接 影响的量。 在设计中,有些基本参数可以根据设计要求事先给定, 称为设计常数,如弹模、许用 应力等材料特性等。而有些则需要通过在设计过程中进行调整、优选来定,如尺寸等。对于 需要优选的参数,在设计过程中均把它们看作是变化的量,称为设计变量。应注意,设计变 量一定是独立参数 (Variables must be independent) ,任何导出量不能作为设计变量 (如 式i =
T
钢梁的总重量,即目标函数为 V = Vc + Vw 其中, VC -- 梁 C 的体积,立方英寸; VW -- 焊缝的体积,立方英寸。 从图上看,它们的体积分别是
VC = tb( L + l ) 1 VW = 2( h 2l ) = h 2l 2
所以,总重量为
V = tb( L + l ) + h 2l
第2章
优化设计的数学模型及基本要素
Chapter 2 Mathematical Modeling for Optimization 2-1 数学模型的建立 (mathematical modeling)
建立数学模型,就是把实际问题按照一定的格式转换成数学表达式的过程。数学模型 建立的合适、正确与否,直接影响到优化设计的最终结果。 建立数学模型,通常是根据设计要求,应用相关基础和专业知识,建立若干个相应的 数学表达式。如机械结构的优化设计,主要是根据力学、机械设计基础等专业基础知识及机 械设备等专业知识来建立数学模型的。 当然,要建立能够反映客观实际的、比较准确的数学模型并非容易之事。数学模型建 的过于复杂,涉及的因素太多,数学求解时可能会遇到困难;而建的太简单,又不 接近实际 情况,解出来也无多大意义。因此,建立数学模型的原则:抓主要矛盾,尽量使问题合理简 化。Principle:The problem is simplified as much as possible. 由于设计对象千变万化,即使对同一个问题,由于看问题的角度不同 ,数学模型建的 可能也不一样。建立数学模型不可能遵循一个不变的规则, 本课也不准备把大量的时间花在 数学模型的建立上。 仅想以几个例子来演示一下数学模型的建立过程, 使学生从中得到一些 启发。 Exp. 2-1 例 2-1 用宽度为 24cm ,长度 100cm 的薄
f =
1 πρ (l + a )( D 2 − d 2 ) ;主轴的限制条件,取它的刚度条件,即外伸端的扰度小于某 4 Fa 2 (l + a} 其中, 3EJ
一规定值 yc ≤ [ y} 及尺寸。 在外力 F 作用下,外伸端的扰度为 y c =
J=
π Fa 2 (l + a} (D 4 − d 4 ) 。 因 此 , 主 轴 的 刚 度 约 束 为 ≤ [ y] 。 它 的 尺 寸 约 束 为 64 3EJ
其中, E -- 杨氏模量; I = (4)梁的变形 δ ( X )
1 1 3 3 x3 x4 ; α = Gx3 x4 , G -- 剪切模量 12 3
假定钢梁是长 L 的简支梁,其变形是 δ ( X ) = 上面四种约束,加上尺寸约束表示如下
4 FL3 3 Ex3 x4
g1 ( X ) = τ d − τ ( X ) ≥ 0 g2 ( X ) = σ d − σ ( X ) ≥ 0 g 3 ( X ) = x4 − x1 ≥ 0 g 4 ( X ) = x2 ≥ 0 g 5 ( X ) = x3 ≥ 0 g 6 ( X ) = Pc ( X ) − F ≥ 0 g 7 ( X ) = x1 − 0.125 ≥ 0 g 8 ( X ) = 0.25 − δ ( X ) ≥ 0
z1 中只能取三个量中的二个作为设计变量) 。设计变量有连续变量和离散变量二种形 z2
2) 设计变量的表示 对于一个优化问题,设计变量的个数则称为该问题的维数(Dimension) ,用一数组 X 或向量表示: (n-dimensional vectors)
09
。大多数机械优化设计中的设计变量都是连续变 式(Continuous & Dispersive Variable) 量,可以用常规的优化算法来求解。而对于像齿轮的齿数、模数、钢板的厚度等只能在一定 的数集里取值的离散变量的优化设计问题,则需用特殊的优化算法。
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0 <θ <
1 × 高 × (上底边+下底边) 2 其中,上底边= 24 − 2 x ;下底边= 24 − 2 x + 2 x cos θ ;高= x sin θ S=
π , 0 < x < 12 2
1
图 2-2
解: 当主轴的材料选定后,其重量仅与四个量有关。轴的内经 d ,外经 D ,支撑间的跨 距 l 及外伸端 a 。由于机床主轴的内孔是用来通过待加工的棒料,其大小由机床型号决定, 不能选作设计变量。因此,该问题的设计变量取 l , D, a ;目标函数,即主轴的重量为

f ( X ) = x3 x4 ( L + x2 ) + x12 x2
对于焊接钢梁的限制条件 有 (1)焊接应力 τ ( X )
2
焊接应力由二部分组成, τ ( X ) = τ '+ τ '' ,其中, τ ' =
F MR , τ '' = J 2 x1 x2
x2 x +x M -- F 产生的扭矩, M = F [ L + ( x2 / 2)] ; J -- 极惯性矩, J = 2 0.707 x1 x2 [ 2 + ( 3 1 ) 2 ; 12 2 x2 x +x R = 2 + [ 3 1 ]2 4 2
4
图 2-4
当维数大于三时 (n > 3) (transcend space) 。 , 设计空间就无法用图来表示, 称为超越空间 3) 设计变量的选取 设计空间的维数表示设计的自由度数。设计变量越多,设计自由度就越大,可供选择 的方案就越多,容易得到比较理性的结果。但随着设计变量数目的增多,必然会使问题复杂 化,给寻优带来更大的困难。因此,在满足基本设计要求的前提下,应尽量减少设计变量的 个数,把对目标函数影响较大的那些参数选作设计变量。但也应注意实用性,如为了选择一 种最合适的材料,将材料的某些性能取为设计变量,但这样求得的最优值,从材料供应方面 往往难以实现( The variables are chosen as a few as possible) 。 2-2-2 目标函数 ( Objective Function) 1)目标函数的表示 在优化设计中用于评价设计方案好坏的衡量标准(Criterion) ,称为目标函数或评价函 数。它是设计变量的函数,记作 f ( X ) = f ( x1 x2 K xn ) 。 在工程实际中,优化设计问题的目标函数有二种形式, 目标函 数的极小化或 极大化, 即 (Maximization & Minimization )
f ( X ) → min

f ( X ) → max
其实,目标函数 f ( X ) 的极大化就等价于 − f ( X ) 的极小化,为了统一优化算法和程序,以 后最优化均指目标函数的极小化。 建立目标函数是整个优化设计中的重要环节。在机械设计中, 目标函数主要根据设计 准则来建立的。 对于机构的优化设计, 这个准则可以是运动学或动力学的特性, 如运动误差、 振动特性等;对于另部件的设计,这个准则可以是重量、体积、效率等;对于产品设计,也 可以将成本、价格、寿命等作为设计追求的目标。 2)单目标和多目标优化问题 (Single- or Multi- Objective Function) 在优化设计中,数学模型中仅包含一项设计准则,即目标函数的称为单目标优化问题。 同时包含若干个设计准则的就是多目标优化问题。一般来说,目标函数越多,对设计的评价 就越周全,设计的综合效果就应该越好,但对问题的求解就会越复杂。本课主要解决单目标 优化问题,在最后介绍一些多目标问题的求解方法。 3) 目标函数等值线(Level Curves, Isoline) 目标函数 f ( X ) 是设计变量 x 的函数。一组设计变量 {x1 x 2 K x n } 就代表一个设计方
Exp. 2-4 例 2-4
值为 60 元;产品 B 每件需用材料 4 kg ,10 个工时和 5kw.h 电,产值为 120 元;若每天可提 供材料 300kg , 300 个工时和 200kw.h 电,问每天生产 A, B 产品各多少件,获得的总产值 才能最大? 解: 这是一个生产计划的优化问题。假设每天生产 A 产品 x1 件, B 产品 x 2 件,在材料、
工时和电力供应量的限制下,求 x1 , x 2 的值,使总产值最大。 该优化问题的设计变量为
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某工厂生产 A, B 二种产品。产品 A 每件需用材料 9kg , 3 个工时和 4kw.h 电,产
x1 和 x2 ;
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目标函数为 满足限制条件
f = 60 x1 + 120 x2 → max
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