曲线和方程练习题一、选择题1、（2014·安徽高考文科·Ｔ3）抛物线214y x =的准线方程是（ ） A. 1-=y B. 2-=y C. 1-=x D. 2-=x 【解题提示】 将抛物线化为标准形式即可得出。

【解析】选A 。

22144y x x y =?，所以抛物线的准线方程是y=-1.2. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10) (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则 AB = ( )A.B.6C.12D. 【解题提示】画出图形,利用抛物线的定义求解. 【解析】选C.设AF=2m,BF=2n,F 3,04⎛⎫⎪⎝⎭.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34·34n,解得m=32 ),n=32所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故选C.3. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T10)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.4 B. 8 C. 6332 D. 94【解题提示】将三角形OAB 的面积通过焦点“一分为二”,设出AF,BF,利用抛物线的定义求得面积.【解析】选D.设点A,B 分别在第一和第四象限,AF=2m,BF=2n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2m=2·34+m,2n=2·34-n,解得m=32 (2+),n=32 (2-),所以m+n=6.所以S △OAB=1324⋅·(m+n)=94.故选D. 4. （2014·四川高考理科·Ｔ10）已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ）A. 2B.3C.8【解题提示】【解析】选B. 可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x 轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=u u u r u u u r，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x y x y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.5. （2014·四川高考文科·Ｔ10）与（2014·四川高考理科·Ｔ10）相同已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A. 2B.3C.【解题提示】【解析】选B.可设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，则直线AB 与x轴的交点(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-，又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=u u u r u u u r，因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =，于是122111211111112224224ABO AFO S S x yx y y y y y ∆∆+=-+⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯=111218y y y ++119238y y =+≥=，当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=”， 所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3.6. （2014·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点(2,3)A -在抛物线2:2C y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为1134()()()()2343A B C D【解题提示】由抛物线的定义知p 的值，也就确定了抛物线的方程和焦点坐标；进而结合导数的几何意义求出切点Ｂ的坐标，利用直线的斜率公式求出直线BF 的斜率 【解析】选Ｄ. 根据已知条件得22p-=-，所以 4.p =从而抛物线方程为28y x =，其焦点(2,0)F ． 设切点00(,)B x y ，由题意，在第一象限内2822y x y x =⇒=．由导数的几何意义可知切线的斜率为02AB x x k y x ='==，而切线的斜率也可以为003(2)AB y k x -=--又因为切点00(,)B x y 在曲线上，所以2008y x =．由上述条件解得008x y ==． 即(8,8)B ．从而直线BF 的斜率为804823-=-． 二、填空题1. （2014·湖南高考理科·Ｔ15）如图，正方形ABCD DEFG 和正方形的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p =>经过,bC F a=两点，则【解题提示】有正方形的边长给出点C,F 的坐标带入抛物线方程求解。

【解析】由题可得),2(a a C -，),2(b b a F +，则12,)2(222+=⎪⎩⎪⎨⎧+==ba b ap b paa 。

答案: 12+ 3.2. （2014·上海高考理科·Ｔ4）2222195_________.x y y px =+=若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 【解题提示】先求出椭圆的右焦点坐标，从而求出p 的值，即得抛物线的准线方程. 【解析】根据椭圆的右焦点坐标F(2，0)得p=4,所以抛物线的准线方程为x=-2. 答案：x=-2.3. （2014·山东高考文科·Ｔ15）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线()220x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且FA c =，则双曲线的渐近线方程为 .【解题指南】本题考查了双曲线知识，利用双曲线与抛物线的交点为突破口求出a,b 之间的关系，进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】 由题意知222Pc a b =-=， 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,2P c ⎛⎫⎪⎝⎭，即(),c b -代入双曲线方程为22221c b a b-=，得222c a =，∴渐近线方程为y x =±，2211b c a a ∴=-=.答案： y x =±4.(2014·陕西高考文科·T11)抛物线y 2=4x 的准线方程为 .【解题指南】根据抛物线y 2=2px 的准线方程为x=-可以得到所求准线方程. 【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1. 答案:x=-1三、解答题1.（2014·福建高考文科·Ｔ21）21．（本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y=分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.【解题指南】（1）由题意曲线Γ符合抛物线的定义，直接写出曲线方程．（2）利用点P 的坐标表示直线l 的方程，求出点A ，点M 的坐标，进而求出圆C 的圆心和半径，表示出AB 的长，经过计算为定值．【解析】.方法一（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =， 由'12y x =，得切线l 的斜率0'012x x k y x ===， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-.由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x .由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +.又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +， 半径00113||||24r MN x x ==+，222220000011313||||[()]3()6244AB AC r x x x x x =-=-++-+=.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.方法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 则22|(3)|(0)(1)2y x y --=-+-=，依题意，点(,)S x y 只能在直线3y =-的上方，所以3y >-， 22(0)(1)1x y y -+-=+， 化简得，曲线Γ的方程为24x y =.（2）同方法一.2. （2014·浙江高考文科·Ｔ22）已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y=上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =u u u r u u u u r；（1）若||3PF =，求点M 的坐标； （2）求ABP ∆面积的最大值.【解题提示】（1）根据抛物线的定义，利用条件|PF|=3，求建立方程关系即可求点M 的坐标；（2）设直线AB 的方程为y=kx+m ，利用直线和抛物线联立结合弦长公式公式以及点到直线的距离公式，利用导数即可求出三角形面积的最值．【解析】（1）由题意知焦点(0,1)F ，准线方程为y 1=-， 设00P(x ,y )，由抛物线的定义可知0PF y 1=+，解得0y 2=，所以0x 22=±即P(22,2)或(2,2)-由PF 3FM =u u r u u u u r ，得22()33M -或22()33M 。