圆的综合练习题答案1.如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.∴∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴∠EAB +∠BAD =90°.∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.∵AE =2AO =6, AB =4, ∴5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分∵∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB ,∴.cos cos E BAD ∠=∠…………………………………………………4分 ∴.AE BE AD AB = .6524=AD 即∴5512=AD . …………………………………………………5分 2.已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA ＝∠AOE ，交 AB 的延长线于点D.（1）求证：FD 是⊙O 的切线；（2）设OC 与BE 相交于点G ，若OG ＝2，求⊙O半径的长；证明：（1）连接OC （如图①）， ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A.∵OE ⊥AC ，∴∠A ＋∠AOE ＝90°. ∴∠1＋∠AOE ＝90°.又∠FCA ＝∠AOE ， 图① ∴∠1＋∠FCA ＝90°. 即∠OCF ＝90°.∴FD 是⊙O 的切线.……………………………………………………2分（2）连接BC （如图②），∵OE ⊥AC ，∴AE ＝EC. 又AO ＝OB ， ∴OE ∥BC 且BC OE 21=.……………3分 ∴△OEG ∽△CBG.图② ∴21==CB OE CG OG . ∵OG ＝2，∴CG ＝4.∴OC ＝6.………………………………………………………………5分 即⊙O 半径是6.3.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于 点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ． （I ）求证：DE 为⊙O 的切线；（II ）若⊙O 的半径为5，60BAC ∠=，求DE 的长． 解：（I ）证明：连接AD ，连接ODAB 是直径，∴BC AD ⊥，又 ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 的中点． OD AC ∴∥．DE AC ⊥，DE OD ⊥∴． DE ∴为⊙O 的切线．（II ）在等腰ABC ∆中，60BAC ∠=，知ABC △是等边三角形．⊙O 的半径为5，10AB BC ∴==，152CD BC ==． 53sin 60DE CD ∴==4. 如图，△ABC 中，AB =AE ，以AB 为直径作⊙O 交BE 于C ，过C 作CD ⊥AE 于D ，DC 的延长线与AB 的延长线交于点P .（1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若AE =5，BE =6，求DC 的长. （1）证明：连结OC …………………1分 ∵PD ⊥AE 于D ∴∠DCE ＋∠E =900∵AB=AE , OB =OC∴∠CBA =∠E =∠BCO 又∵∠DCE =∠PCB ∴∠BCO ＋∠PCB =900∴PD 是⊙O 的切线 ……………2分 （2）解：连结AC ………………3分 ∵AB=AE =5 AB 是⊙O 的直径BE =6∴AC ⊥BE 且EC=BC =3 ∴AC =4又 ∵∠CBA =∠E ∠EDC =∠ACB =90°∴△EDC ∽△BCA ………………4分∴AC DC =ABEC即4DC =53∴DC =5125分5.在Rt △ABC 中，∠C=90， BC =9， CA =12，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ， DE ⊥DB 交AB 于点E ，⊙O 是△BDE 的外接圆，交BC 于点F（1）求证:AC 是⊙O 的切线;（2）联结EF ，求EFAC的值. （1） 证明：连结OD ，-------1分 ∵90C ∠=，∴90DBC BDC ∠+∠=． 又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴ABD DBC ∠=∠． ∵OB OD =，∴ABD ODB ∠=∠∴90ODB BDC ∠+∠=，即∴90ODC ∠=-----2分 又∵OD 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分（2） 解：∵ DE ⊥DB ，⊙O 是Rt △BDE 的外接圆， ∴BE 是⊙O 的直径，A CEOBFD（第5题）FE CA D o BAA 设⊙O 的半径为r ，在Rt △ABC 中，22222912225AB BC CA =+=+=， ∴15AB =∵A A ∠=∠，90ADO C ∠=∠=，∴△ADO ∽△ACB ．∴AO OD AB BC =．∴15159r r-=．∴458r =．∴454BE = ·············· 4分又∵BE 是⊙O 的直径．∴90BFE ∠=．∴△BEF ∽△BAC∴4534154EF BE AC BA ===．……………………………5分7. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，E 是AB 延长线上的一点，D 是⊙O 上的一点，且AD 平分∠FAE ，ED ⊥AF 交AF 的延长线于点C ．（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若AF ∶FC =5∶3，AE =16，求⊙O 的直径AB 的长． 解：（1）直线CE 与⊙O 相切．证明：如图，连结 OD ．∵AD 平分∠FAE ， ∴∠CAD =∠DAE ．∵OA =OD ， ∴∠ODA =∠DAE ． ∴∠CAD =∠ODA ． ∴OD ∥AC ． ∵EC ⊥AC ， ∴OD ⊥EC ．∴CE 是⊙O 的切线．……………………………………………………………2分（2）如图，连结BF ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFB =90°． ∵∠C =90°， ∴∠AFB =∠C ． ∴BF ∥EC ．∴AF ∶AC = AB ∶AE ．∵AF ∶FC =5∶3，AE =16， ∴5∶8=AB ∶16．∴AB = 10．…………………………………………………………5分8已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作圆O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． （1）求证：AD 是圆O 的切线；（2）若PC 是圆O 的切线，BC = 8，求DE 的长． （1）证明：∵AB = AC ，点D 是边BC 的中点， ∴AD ⊥BD ．又∵BD 是圆O 直径，∴AD 是圆O 的切线．……2分（2）解：连结OP ，由BC = 8，得CD = 4，OC = 6，OP = 2．∵PC 是圆O 的切线，O 为圆心，∴90OPC ∠=︒．由勾股定理，得42PC = 在△OPC 中，2tan 442OP OCP PC ∠===在△DEC 中，9.如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 是AB延长线的一点，AE ⊥CD 交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．（1） 求证：DE 是⊙O 的切线；（2） 若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长． 证明：（1）连接OC,ABCDPE．O（第8题）F A O B CD2tan ,4tan 24 2.54DE DCE DC DE DC DCE ∠==∴=∠=⨯=分,,,1 2.,2 3.1 3.//.1.2AE CD CF AB CE CF OA OC OC AE OC CD DE O ⊥⊥=∴∠=∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∴⊥∴又分是的切线.分00(2)6,13.23,6,30.60.39,19.422,3.5AB OB OC AB Rt OCD OC OD OB BD D COD Rt ADE D AB BD AE AD OBC OB OC BC OB =∴===∆==+=∴∠=∠=∆=+=∴==∆∠=∴==0解：在中，分在中， A 分在中，COD=60分10如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．（1）若︒=∠30CPA ，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小． 解：（1）联结OC ，则PC OC ⊥．在Rt △OCP 中，221==AB OC ，︒=∠30CPA ． ∴323==OC PC ． ……………………2分（2）CMP ∠的大小不发生变化． …………………3分MPA A CMP ∠+∠=∠CPO COP ∠+∠=2121︒=︒⨯=459021． ………5分 11如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =PC O C BC . （1）求P ∠的正弦值； （2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.CP第19题（1）证明：如图，连接OC ． ∵PC 切半O 于点C ，90PCO ∴∠=︒．…………………1分∵2AB PA =， PA OA OB OC ∴===．在Rt PCO △中，1sin 2OC P OP ∠==． ···················· 2分（2）过点O 作OD BC ⊥于点D ，则2BC BD =． ·············· 3分1sin 2P ∠=，30P ∴∠=︒， 60POC ∴∠=︒． ∵OC OB =，30B OCB ∴∠=∠=︒． 在Rt OBD △中，2OB =，cos30BD OB ∴=︒= ························ 4分BC ∴= ······························ 5分12已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交BC 于点E ． 求证：BE=CE ．证明：连接CD.∵∠ACB=90° ,AC 为⊙O 直径，∴EC 为⊙O 切线，且∠ADC=90°. ………………………2分 ∵ED 切⊙O 于点D,∴EC ＝E D . …………………………………3分 ∴∠ECD =∠EDC.∵∠B+∠ECD =∠BDE+∠EDC=90°， ∴∠B=∠BDE.∴BE=ED.………………………………………………4分AA 13.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且∠BCE =∠CAB ，CE 交AB 的延长线于点E ，AD ⊥AB ，交EC 的延长线于点D ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE =3，BE =2，求CD 的长．解：（1）直线DE 与⊙O 相切．证明：如图，连结 OC ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∵OA =OC ， ∴∠OAC =∠ACO ． ∵∠BCE =∠CAB ， ∴∠BCE =∠ACO ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴∠BCE ＋∠BCO =∠BCO ＋∠ACO =∠OCE =90°． ………………1分 ∴DE 是⊙O 的切线．……………………………………………2分 （2）∵∠BCE =∠CAB ，∠BEC =∠CEA ，∴△BEC ∽△CEA ． ∴CE ∶AE =BE ∶CE ． ∵CE =3，BE =2，∴3∶AE =2∶3．∴AE = 92．……………………………………………………3分∵AD ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径， ∴DA 是⊙O 的切线．∴AD =CD ． ………………………………………………4分 在Rt △ABC 中，由勾股定理得222AD AE DE +=， ∴()222932CD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．∴CD =158．………………………………………………5分 14. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AD 为弦，∠DBC =∠A .（1）求证： BC 是⊙O 的切线；（2）若OC ∥AD ，OC 交BD 于E ，BD=6，CE=4，求AD 的长. （1）证明： ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．………………………… 1分 ∴∠ABD +∠A =90°． 又∵∠DBC =∠A ．∴∠ABD +∠DBC =90°． ∴∠ABC =90°．∴BC 是⊙O 的切线． ………………………2分（2）解： ∵OC ∥AD ， ∠ADB =90°，∴OE ⊥BD ，∠OED =∠ADB = ∠BEC =90°．∴BE =12BD =3． ………………………4分又∵∠DBC =∠A ，∴△CBE ∽△BAD ．∴AD BD BE CE =，即634AD =． ∴AD =92． ……5分15.如图：AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，22.5DAB ∠=，延长AB 到点C ， 使得2ACD DAB ∠=∠．(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若AB =BC 的长．（1）证明：连结DO ………………………………1分 ∵AO=DO∴∠DAO =∠ADO =22.50∴∠DOC =450又∵∠ACD =2∠DAB∴∠ACD =∠DOC =450∴∠ODC =900………………2分∴CD 是⊙O 的切线（2）解：连结DB ………………………………………3分∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADO ＋∠ODB =900由（1）知∠CDB ＋∠ODB =900∴∠ADO =∠OAD =∠CDB ………4分 又∵∠DCB =∠ACD ∴△ADC ∽△DBC ∴BC DC=DCBCAB +∴2222BCBC +=∴BC =2-2BC =-2-2(舍负)CB ODAODACB∴BC=2-2………………………………………5分。