圆的综合解答题
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专题一:圆的综合解答题
【知识储备】
1、同圆或等圆中,半径处处相等;
2、射影定理;
3、有一条公共边的两个三角形相似,公共边的平方等于它在两个三角形中的对应边的乘积。
AB CD BC •=2 AC CD BC •=2(公共边的平方等于共线边
之积)。
4、垂径定理基本模型:
2
2
2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+=d h r
(r :半径、h :圆心距、d :弦
长)
5、∥+角平分线→等腰三角形(知
二推一)
6、相等的角的三角函数值相等。
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【例题讲解】 基本题型:条件发散
例1、(2016.内江)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AC 的垂直平分线分别与AC 、BC 及AB 的延长线相交于点D 、E 、F ,⊙O 是△BEF 的外接圆,∠EBF 的平分线交EF 于点G ,交⊙O 于点H ,连接BD 、FH 。
(1)试判断BD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)当AB =BE =1时,求⊙O 的面积; (3)在(2)的条件下,求HB HG •的值。
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练习: (2016.资阳)如图,在⊙O 中,点C 是直径AB 延长线上一点,过点C 作⊙O 的切线,切点为D ,连接BD 。
(1)求证:∠A =∠BDC ;
(2)若CM 平分∠ACD ,且分别交AD 、BD 于点M 、N ,当DM =1时,求MN 的长。
例2、(2016.绵阳)如图,AB 为⊙O 直径,C 为⊙O 上一点,点D 是
BC 的中点,DE ⊥AC 于点E ,DF ⊥AB 于点F 。
(1)判断DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若OF =4,求AC 的长度。
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练习:
1、(2016.南充)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠BAC 的平分线交BC 于点O ,OC =1,以点O 为圆心、OC 为半径作半圆。
(1)求证:AB 为⊙O 的切线;
(2)如果tan ∠CAO=3
1
,求cosB 的值。
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2、(2016.甘孜)如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 与边BC 、AC 分别交于D 、E 两点,过点D 作DH ⊥AC 于点H 。
(1)判断DH 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)求证:H 为CE 的中点; (3)若BC =10,cosC =
5
5
,求AE 的长。
例3、(2016.成都)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,以CB 为半径作⊙C ,交AC 于点D ,交AC 的延长线于点E ,连接BD 、BE 。
(1)求证:△ABD ∽△AEB ; (2)当
3
4
BC AB 时,求tanE ; (3)在(2)的条件下,作∠BAC 的平分线,与BE 交于点F 。
若AF =2,求⊙C 的半径。
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练习: (2016.凉山)如图,已知四边形ABCD 内接于⊙O ,A 是⋂
BDC 的中点,AE ⊥AC 于A ,与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ,且⋂
⋂
=AD BF 。
(1)求证:△ADC ∽△EBA ;
(2)如果AB =8,CD =5
,求tan ∠CAD 的值。
【当堂检测】
1、(2016.泸州)如图,△ABC 内接于⊙O ,BD 为⊙O 的直径,BD 与AC 相交于点H ,AC 的延长线与过点B 的直线交于点E ,且∠A =∠EBC 。
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(1)求证:BE 是⊙O 的切线;
(2)已知CG ∥EB ,且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ,若48=•BA BG ,FG=2,DF=2BF ,求AH 的值。
2、(2016.乐山)如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,ED 、AC 的延长线交于点F 。
(1)求证:EF 是⊙O 的切线; (2)若EB =
23,且5
3
sin =∠CFD ,求⊙O 的半径与线段AE 的长。
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3、(2014.宜宾)如图,在△ABC 中,以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ,交AB 于点G ,且D 是BC 中点,DE ⊥AB ,垂足为E ,交AC 的延长线于点F . (1)求证:直线EF 是⊙O 的切线; (2) CF =5,cos ∠A = 2
5,求BE 的长.。