M
dA
z
y
z σ dA
M=∫ A σdA· y源自y 正应力 公式：My s = Iz
E ∫ y2dA = ρ A E I z = ρ 1 M = 中性层曲率公式 E I ρ z
EIz —— 梁的抗弯刚度
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正应力性质（正负号））确定： σ的符号可由M与y的符号确定，也 可由弯曲变形情况确定。 最大正应力： smax = 令 得 Iz Wz = ymax Mymax
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Ch10
弯曲应力
梁的横截面上一般同时存 在正应力和切应力。
a
A
C F FQ
+
F
F D
a
B
§10-1 弯曲正应力
纯弯曲： 梁弯曲时，横截面上只有 弯矩而没有剪力。CD段 剪切弯曲： AC、DB段
F
M
+
Fa
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一、变形几何关系 试件变形后 横线：保持为一条直线,与变形后的纵线正交，相对原来 位置转过一角度。 纵线：弯成弧线，上部纵线缩短，下部纵线伸长。
dq
a
1
b
y
a'
dx
O1O2变形前后长度不变，ρ为中性层的曲率半径
1
b'
4
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变形前
dx= ab=O1O2
变形后 O' O' =ρdθ 1 2
=O1O2
1 O1 2 O2 2
dq
a'1b'2=(ρ+y)dθ
ab的纵向线应变 1 O1' 2 O2' 2
a'b'-ab (ρ+y)dθ -dx = ε= dx ab = (ρ+y)dθ - ρd θ ρd θ
a
1
b
y
a'
dx
1
b'
dx
=
y
ρ
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二、物理关系 胡克定律
σ=Eε =E
y
ρ
由此可见，横截面上的正应力分布为
z
中性轴
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三、静力学关系
E ∫A FN= σdA = ∫ A ydA =0 ρ
得 ∫ A ydA =0
横截面对中性轴 的面积矩为零， 中性轴过形心。
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s tBmax
D t max
M B ytBmax = = 21.4MPa Iz
D t max
s cBmax
M B ycBmax = 38.6MPa = Iz M B ycDmax = = 12.1MPa Iz
D MD y s c max s = = 21.7MPa Iz D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面
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第十九次课结束处
F=20kN A C B
3m
3m
M max 1 2 4 3 = 91.8MPa s max = 2. 矩形截面 Wz = bh = 32.67 10 mm Wz 6 3. 圆形截面 由 1 d 2 = bh 得 d = 133.5mm 4 M max 1 3 4 3 s max = = 128.4MPa Wz = d = 23.36 10 mm Wz 32
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
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对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
s
=
M( x ) y Iz Mmax Wz
M( x ) 1 = ρ( x ) E Iz
q=20kN/m
A
220 C 2m 60
D
4m 40 +
B
c yc=180
z
280
1.5m 22.5 M/kN· m 解： 1. 作弯矩图
x
60
y
MB=-40kN· m MD=22.5kN· m
B、D截面为危险截面
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q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
smax =
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例6-1 一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采用截面面 积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截面，试求三种截面的 最大拉应力。设矩形截面高为140mm,宽为100mm。 F=20kN A 3m 解： 1. 求最大弯矩Mmax C 3m B
M max
1 1 = Fl = 20kN 6m = 30kN m 4 4
B
c
yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 s tBmax = B t max = 21.4MPa Iz B yt max = 100mm B 6 4 M y I z = 186.6 10 m 13 s cBmax = B c max = 38.6MPa B yc max = 180mm Iz B、D截面为危险截面
4. 工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz = 2080cm
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s max
M max = = 14.42MPa 11 Wz
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例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
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假设：
平面假设：变形后的横截面仍为平面，并仍与弯曲后的纵线正交。 单向受力假设：各纵向纤维间无挤压，每根纵向纤维处于单向 受力状态。 中性层：梁中间有一层既不伸长，也不缩短。
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层
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横截面绕中性轴转动 找与横截面上的正应力有关的纵向线应变的变 形规律： 取微段梁dx 1 O1 dx 2 O2 2 1 O1' 2 O2' 2
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q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
B
c yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· M D ytD D max s = = 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max = 180mm D M y I z = 186.6 106 m 4 D B c max 14 s = = 12.1MPa D c max yc max = 100mm Iz B、D截面为危险截面