弯 曲 应 力
对称弯曲的概念及计算简图
梁的剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
平面刚架和曲杆的内力图
梁横截面上的正应力 • 梁的正应力强度条件
梁横截面上的切应力 • 梁的切应力强度条件 梁的合理设计
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
一、弯曲的概念 1. 弯曲变形 受力特征： 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系 （有时还包括力偶）。 变形特征：梁变形前为直线的轴线 ，变形后成为曲线。
，YC
反向，
并分别加在主梁 AC 的 C 点处，求出 AC 的约束力。
P=50kN
q 20kN m
M=5kN.m
A 1m
E
C
D 3m
K 1m
B
0.5m 1m
xC
C D
q 20kN m
K
M=5kN.m
B
yC
RB
xC
D
q 20kN m
K
M=5kN.m
B
yC
RB
解：（1）研究CB梁，由平衡方程
C
P2
D
RB
B
假设 FsE 和弯矩 ME 均为 正值。
F
d
l
FsE
E
C
RA
A
ME
b
F
y
0,
RA FsE 0
RA
A
a E
P1
C
P2
D
RB
B
M
E
0,
M E RA c 0
F
d
解得
c
l
FsE RA
+
RA
FsE
E
C
M E RA c
ME
+
A
b
取右段为研究对象
RA
A
F
x
0,
XA 0
F
y
0,
RA 50 31 81kN
m
A
0,
mA 311.5 50 1 96.5kN m
§4-2
梁的剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
一、梁的剪力（ Fs ）和弯矩 （ M ） 的定义与计算 1. 用截面法求横截面上的内力
a
m
F
A
m x
FB
非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，
但外力并不作用在纵向对称面内这种弯
曲称为非对称弯曲。
三、梁的计算简图 1. 支座的简化 在梁的计算简图中用梁的轴线代表梁 R H （2）固定铰支座
H
（1） 固定端
m
R
(3) 可动铰支座
R
2. 工程中常用到的静定梁
悬臂梁
简支梁
外伸梁
3. 几种超静定梁
m
Fs
C
x
M
A
x
m
a
F
结论 梁在弯曲变形时， 横截面上的内力有 两个，即，
A
m
B
m x
剪力 Fs
弯矩 M
FA
y
m
Fs
C
x
M
A
x
m
取右段梁为研究对象。
其上剪力的指向和弯矩
y
FA
m
Fs
C
x M F
FB
的转向则与取右段梁为
研究对象所示相反。
A
x
m
m
M Fs
m
B
2. Fs 和 M 的正负号的规定 （1）剪力 Fs 的符号 使dx 微段有 左端向上而右端向下 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为 正 。
FsE RA
梁： 以弯曲变形为主的杆件。
二、对称弯曲 纵向对称面 ：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面 称为纵向对称面。 对称弯曲 ：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内， 弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线， 这种弯曲称为对称弯曲。
纵向对称面
横截面的对称轴
F1
F2
梁的轴线
A
B
FA
变形后的轴线与外力 在同一平面内
例题1:
计算悬臂梁的约束力。
q A C
F
B
l 2
l 2
l
mR
RA
A C
q
F
B
l
解: 求梁的约束力 RA 和 mR 。
由平衡方程得：
解得：
F
y
0,
ql RA F 0 2
mR ql 3l Fl 0 2 4
M A 0,
ql F 2 3ql 2 mR Fl 8 RA
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
F
d
l
RA
A
C
FsE
E
ME
FsE
P1
c
a- c b- c
P2
D
RB
B
E
ME
l- c
RA
AE
P1
c
a- c b- c
P2
D
RB
B
E
ME
l- c
F
y
0
FsE RB P 1P 2 0
M E 0
解得：
R B (l c) P1 (a c) P2 (b c) M E 0
B
用截面法假想地在 横截面mm处把梁分
a
m
F
为两段，先分析梁左段。
由平衡方程得
A
m x
B
F
y
0,
FA Fs 0
Fs = FA
FA
y
m
可得
Fs
C
x
A
Fs 称为 剪力
x
m
a
由平衡方程
F
m
mC 0
M FA x 0
可得 M = FAx
y A
m x
B
内力偶 M 称为 弯矩
FA
例题2：计算图所示多跨静定梁的约束力。
F=50kN
q 20kN m
M=5kN.m
A
1m
E
C
D
3m
K
1m
B
0.5m 1m
F=50kN
q 20kN m
M=5kN.m
A 1m
E
C
D 3m
K 1m
B
0.5m 1m
分析：先将中间铰 C 拆开，并通过平衡方程求出副梁 CB 的约束力。 再将副梁 CB 的两个约束力 XC
+
m
Fs
Fs
m
dx
或使 dx 微段有顺时针转动趋势的剪力为 正。
使 dx 微段有 左端向下而右端向上
的相对错动时，横截面 m-m 上
-
m
的剪力为负 。
m
或使 dx 微段有逆时针转动趋势的剪力
dx
为 负。
（2）弯矩符号 当 dx 微段的弯曲下凸
+
M m
M
（即该段的下半部受拉 ）时，
m
横截面m-m 上的弯矩为 正； 当 dx 微段的弯曲上凸 （即该段的下半部受拉压）时， 横截面m-m 上的弯矩为为负。
F
F
x
0,
XC 0
m B 0,
y
yC 5 20 3 2.5 5 0
RB 20 3 yC 0
0,
X C 0,
yC 31kN,
RB 29kN
F=50kN
' yc yc
mA
XA
A E
C
' xc xc
RA
（2）研究 AC 梁，由平衡方程
m
（受拉）
_
m
（受压）
例题3： 为图示梁的计算简图。已知 P1、P2，且 P2 > P1 ，尺寸 a、b、c 和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点处横截面处的 剪力和弯矩。
b
a
A
P1
C
P2
D B
E c l
F
d
b
RA
A
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
F
d
l
解:
mA 0
mB 0
RB l P 1a P 2b 0
RAl P 1 (l a ) P 2 (l b) 0
b
RA
A
a
P1
C
P2
D
RB
B
E
c l
F
d
解得：
P 1 (l a ) P 2 (l b) RA l P 1a P 2b RB l
b
记 E 截面处的剪力 为 FsE 和弯矩 ME 。
RA
A
a E c
P1