a a
以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数 ( x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。由于多 项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将 ( x) 选取为插值多项式, 这样f(x)的积分就可以用其插值多项式 的积分来近似代替
1.3
数值求积方法
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两 种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分
区间[a,b]内存在一点ξ，使得 b f ( x ) d x ( b a ) f ( )
a
a , b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 f ( ) 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的, 因 而 f ( ) 的值也是未知的, 称 f ( ) 为f(x) 在区间[a,b]上的平均 高度。那么只要对平均高度 f ( ) 提供一种算法，相应地就 获得一种数值求积方法
MATLAB求解数值积分
MATLAB求解连续函数积分
1 引言
Matlab求解连续函数积分
我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原
函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式
x ) dx F ( b ) F ( a ) f(
a b
求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式无论在理论上 还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不 能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的 实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中
②
b
矩形公式
a b f( x ) dx ( b a ) f( ) a 2
③ Simpson公式
1 a b f ( x ) dx ( b a ) f ( a ) 4 f ( ) f ( b ) a 6 2
b
在这三个公式中, 梯形公式把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度f()的近似值而获得的一种数 2
值积分方法。
矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
ab f( ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函数值 f(a), f(b),
并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分
后其原函数F(x)为：
1 3 2 9 2 2 2 2 F ( x ) x 2 x 3 x 2 x 3 ln( 2 x x 2 x 3 ) 4 16 16 2
(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难 的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因 而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不 能或很难解决的积分问题, 这时需要用数值解法来建立 积分的近似计算方法。 将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替
经常遇到以下三种情况：
(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数F(x)，例如：
1 2 sin x x dx 和 e dx 0 0 x 1
Newton-Leibnitz公式就无能为力了 (2) 还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，
2 2 但表达式太复杂，例如函数 f(x )x 2 x 3
f1= cos(x)-sin(x); f2=-f1; S1 =int(f1,x,-0.5,pi/4);
S2=int(f2,x, pi/4,1.5); S=S1+S2,Sj= double (S) 运行后屏幕显示计算面积的值 S 及其近似值Sj 如下 S =2*2^(1/2)+sin(1/2)-cos(1/2)-sin(3/2)-cos(3/2)
复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插
值多项式去代替被积函数发f(x)进行积分是本章讨论数 值积分的主要内容。
1.1
定积分的Matlas x , x=-1/2,x=3/2所围成的平 面区域D.求平面区域D 的面积S.
解 输入作函数图形的程序 坐标调整 >> x=-1:0.001:2; F1= sin(x); F2=cos(x); plot(x ,F1,'b-',x ,F2,'g-'), axis([-1,pi/4+1,-1.3,1.3]), xlabel('x'), ylabel('y'), title('y=sinx , y=cosx 和x=-0.5及x=1.5所围成的平面区域的图形') 运行后屏幕显示图形. 求平面区域D 的面积S.输入计算面积S 的程序 >> syms x
f(
似值而获得的一种数值积分方法。
1 a b ( f( a ) 4( f ) f( b ) ) 6 2
ab ) 2
的加权平均值 作为平均高度f()的近
（2）先用某个简单函数 ( x) 近似逼近f(x), 用 ( x) b b 代替原被积函数f(x)，即 f( x ) dx ( x ) dx
Sj =1.36203791318826
1.2
例2
变限积分的Matlab符号计算
2 x
t 3 已知 F (x ) e sin(2 t ) dt,求F ′(x) x
解：输入程序： >> syms x t
F1=int(exp(t)*sin(2+sqrt(t^3)),x,0);
F2=int(exp(t)*sin(2+sqrt(t^3)),0,x^2); Fi= F1+ F2; dF=diff(Fi) 运行后屏幕显示计算变限积分F(x)的导数.
按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例
如 f ( ) 分别取
ab f( ) f ( ) 2
和
f( )
f( a )f( b ) 2
则分别得到中矩形公式和梯形公式。 ①
b
梯形公式
1 f ( x ) dx ( b a ) f ( a ) f ( b ) a 2