1.4命题的形式及等价关系 教学目标：：1.理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；2.知道推出关系的概念，理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；3.掌握等价关系的概念，初步掌握反证法。

4.理解充分、必要条件的概念；5.掌握充分、必要条件的判断方法。

6.掌握集合的包含关系和推出关系、充分必要条件之间的联系。

教学内容：1、命题：能够判断对错的语句。

真命题：判断为正确的命题。

假命题：判断为错误的命题。

通常可以化简为：,αβ若则的形式。

2、推出关系：一般地，如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号α⇒β表示，读作“α推出β”。

换言之，α⇒β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题。

3、传递性：α⇒β，β⇒γ，则α⇒γ4、命题的四种形式：如果把命题：,αβ若则称为原命题；则我们把命题：,βα若则，称为原命题的逆命题，简称逆命题。

命题：,αβ若则称为原命题的否命题，简称否命题。

命题：,βα若则成为原命题的逆否命题，简称逆否命题。

其中αβ和分别是αβ和的否定形式。

5、充分条件：一般地，用α、β分别表示两件事，如果α成立，可以推出β也成立，即α⇒β，那么α叫做β的充分条件。

[说明]：①可以解释为：为了使β成立，具备条件α就足够了；②可进一步解释为：有它即行，无它也未必不行；③结合实例解释为：x = 0 是xy = 0 的充分条件，xy = 0不一定要 x = 0.6、必要条件：如果β⇒α，那么α叫做β的必要条件。

[说明]：①可以解释为若β⇒α，则α叫做β的必要条件，β是α的充分条件；②无它不行，有它也不一定行；③结合实例解释为：如 xy = 0是x = 0的必要条件，若xy ≠0，则一定有 x≠0；若xy = 0也不一定有 x = 0。

注：根据子集的定义，我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的集合记为B ，若A B ⊆，则αβ⇒,即αβ是的充分条件；反之，若αβ⇒，则A B ⊆，也即αβ若是的充分条件，则由满足条件α的元素组成的集合是由满足条件β的元素组成的集合的子集。

而子集需要符合的条件往往可以用一种特例的形式来表示，即特例就可以作为充分条件。

7、αβ与等价：如果αβ⇒，且βα⇒，那么记作αβ⇔，叫做αβ与等价，也称αβ与互为充要条件。

特别的：原命题和它的逆否命题一定是等价的。

即两个命题同时为真或同时为假。

而逆命题和否命题同样也是等价的。

当直接证明一个命题比较困难，我们有时会利用这一点来证明它的真假——这就是所谓的反证法。

练习一：一、填空题1. 给出下列语句：（1）上海的空气质量越来越好（2）空集是任何集合的子集（3）菱形的对角线相等（4）这次数学考试成绩及格的未必有几个。

其中是命题的语句的序号为2. 命题“能被2整除的数是偶数”的逆命题是3. 已知命题():,,,;:d b M ax b cx d a b c d R N x a c-+=+∈=-命题，则命题M 与N 的推出关系是4. 有以下命题：（1）有男生爱踢足球（2）所有男生都爱踢足球（3）所有男生都不爱踢足球（4）至少有一个男生不爱踢足球（5）所有女生都爱踢足球，上述命题中互为否命题的一对命题的序号是5. 下列说法中，正确说法的序号是（1）“0a =且0b =”的否定形式是“00a b ≠≠或”（2）命题“对顶角相等”的否命题是“对顶角不等”（3）“方程()0f x =至多有一个实根”的否定形式是“方程()0f x =至少有两个实根”（4）命题“若a ，b 是正数，则a+b 是正数”的逆否命题是“若a+b 不是正数，则a ，b都不是正数”6. 设有两个命题：（1）方程240x mx ++=没有实根；（2）实数m 是非负数。

如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是 二、选择题7. 下列命题中的真命题是 （ ）（A ）若集合A ，B 的交集是空集，则A ，B 中至少有一个是空集（B ）对于实数a ，b ，c ，若22,a b ac bc >>则（C ）方程2320mx x +-=的两根异号（D ）若集合A 不是集合B 的子集，则A B B ⋃≠8. 下列各组命题中的两个命题互为等价命题的是 （ ）（A ）“和是正数的两个数的差为整数”与“差为整数的两个数的和为整数”（B ）“A a ∈集合”与“a A B ∈⋃集合 （C ）“A B A ⋂=”与“A B B ⋃=”（D ）“若,a M a N ∈∉则”与“若,a M a N ∉∈则”9. 若命题A 的否命题是B ，命题B 的逆命题是C ，则命题C 是A 的逆命题的（ ）（A ）否命题 （B ）逆命题 （C ）逆否命题 （D ）不能确定10. 某个命题与自然数n 有关，当()*n k k N =∈时该命题成立，可推得1n k =+时，该命题也成立，现已知n=5时该命题不成立，则可推得 （ ）（A ）n=4时该命题不成立 （B ）n=4时该命题成立 （C ）n=6时该命题不成立 （D ）n=6时该命题成立 三、解答题11. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假，（1）矩形的对角线相等（2）若实数a ，b 满足0,12a b a b +≠≠≠则且12. 试写出一个命题，再写出它的逆命题，否命题，逆否命题，并使这四个命题都是真命题。

13. 如图，BM ，CN 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的高，且:BM CN AB AC ≠≠求证A BCMN练习二：一、填空题1. “220x x --=”是“1x =-”的 条件。

2. “A B =”是“A B ⊆”的 条件。

3. 设αβ是的必要非充分条件，则αβ是的 条件。

4. 命题“x<0”的一个必要非充分条件是5. 已知,"2"x y R x y ∈+≥则是“x ，y 中至少有一个大于或等于1”的 条件。

6. 有四个条件：（1）a>b>0（2）b<a<0（3）a>0>b （4）b>0>a 。

其中使11a b<成立的充分条件是（填上符合题意的条件的序号） 二、选择题7. 若非空集合,M N a M a N ∈∈则“或”是a M N ∈⋂“”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8. 3639a ab b ab >+>⎧⎧⎨⎨>>⎩⎩是成立的 （ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9. “2a b c +>”的一个充分非必要条件是（ ）（A ）a>c 或b>c （B ）a>2c 或b<c （C ）a>c 且b>c （D ）a+b>3c10. 一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）（A ）a<0 （B ）a>0 （C ）a<-1 （D ）a>1三、解答题11. 设A 是B 的充分而不必要条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，试问：（1）D 是C 的什么条件？（2）A 是C 的什么条件？12. 已知集合{}{}22220,420A x x px q B x x qx q p =+-==+-+=，判断“实数1p q ==”是“1A B ∈⋃”的什么条件，并说明理由。

13. 求抛物线()22211y x a x a =--+-与x 轴的焦点在y 轴同一侧的一个充分非必要条件。

练习三：一、填空题1. 与命题“若,a M b M ∈∉则”等价的命题是 。

2. “一次函数y ax b =+的图像经过原点”的充要条件是 。

3. “0ac <”是“ 关 于 x 的二 次 方 程 20ax bx c ++=有一个正根和一个负根”的条件。

4. 已知,1xx R x ∈=等式成立的充要条件是5. ,,A B C 设有非空集合，若“a A ∈”的充要条件是“a B a C ∈∈且”，则“a B ∈”是“a A∈的 条件。

6. 集合{}220,M x mx x x R =++=∈中至多只有一个元素的充要条件是 二、选择题7. 集合A=B 是集合A C B C ⋂=⋂的（ ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件8. “a ，b 是整数”是“方程20x ax b ++=有且只有整数解”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件9. a ，b ，c 中至少有一个是非负实数的充要条件是（ ）（A ）a ，b ，c 均不是负数 （B ）a ，b ，c 中只有一个是负数（C ）a ，b ，c 中至少有一个是正数 （D ）a ，b ，c 不都是负数10. “121,1x x >>”是“12122,1x x x x +>⋅>”的（ ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 三、解答题11. “三角形中，一条边上的中线是这条边的一半”是“这个三角形是直角三角形”的充要条件吗？为什么？12. 求证：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个根为1的充要条件是0a b c ++=13. 试分别写出“二次方程20ax bx c ++=的两根为正根”的：（1）一个充分非必要条件（2）一个必要非充分条件（3）一个充要条件练习四：一、填空题（根据充分性、必要性填空）1. 若:5;:5p x q x >≥，则p 是q 的 条件。

2. 已知A ，B 两个命题，如果A 是B 的充分条件，则A B 是的 条件。

3. 若非空集合M N ，则“a M a N ∈∈或”是“a M N ∈⋂”的 条件。

4. 0523x x <<-<是的 条件。

5. 命题甲：3x y +≠；命题乙：12x y ≠≠或，则甲是乙的 条件。

6. 已知():231;:30p x q x x -<-<，则p 是q 的 条件。

二、选择题7. 设集合{}{}03,02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件8. 若b>0，则x b x b >>是的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 设命题甲：2403x y xy <+<⎧⎨<<⎩命题乙：0123x y <<⎧⎨<<⎩那么甲是乙的 （ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件10. 设A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充要条件，C 是D 的必要不充分条件，则D 是A 的 （ ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）既不充分也不必要条件（D ）不能确定三、解答题11. 下列各题中，判断条件甲是条件乙的什么条件：（1）甲：()()310a b -+= 乙：3a =（2）甲：()()22330x y ++-= 乙：()()330x y +-=12. 用充分非必要条件，必要非充分条件填空：（1）"12""3"x y x y ≠≠+≠且是的（2）"12""3"x y x y ≠≠+≠或是的13. 设集合A ，B 满足“x A ∈”是“x B ∈”的充分非必要条件，若{}6,A x x k k Z ==∈，请写出一个符合条件的集合B 。