当各组标志值已确定，如果哪一组标志值分配的 单位数越多，则该组标志值对平均数的影响越大。 反之，影响越小。（即：在一个数列中，当标志 值较大的单位数居多时，平均数就会趋近标志值 大的一方；当标志值较小的单位数居多时，平均 数就趋近标志值小的一方；当标志值较大的单位 数与标志值较小的单位数基本平分时，平均数居 中）。
统计综合评价方法
权重系数的确定方法
大家知道，即使某个评价指标非常重要，
但在 n 个被评价对象中，若它取值的波
动程度非常小，那么无论其取值有多大，
n 对这 个被评价对象来说，该指标在评
价过程中，对评价结果的影响都是非常小。
极端一点说，若某个非常重要的指标关于 这 个被评价对象的取值是完全相同的话，那么 该重要的指标在评价过程中的作用为零。
可见，各组标志值的单位数（频数）的多少对平 均数的大小有权衡轻重的作用，所以称各组单位 数为权数，用权数乘以各组标志值叫加权，由此 计算的平均数叫加权算术平均数。
二、权数的起源与发展阶段
1.权数的思想渊源。
权数思想最早源于我国春秋初期著名政治 家管仲(?—前645年)的治国思想。管仲曾被 齐桓公任为宰相,历时40年。他在治国理财 时非常注重应用轻重之权,《史记·管晏列 传》:“管仲既任政相齐……贵轻重,慎权衡。”
反之，若某个评价指标是不太重要的（但
n 不能舍去），但在 个被评价对象中，
它取值的变化程度却非常大，那么，对n 这
个被评价对象来说，该指标在评价过程中， 对评价结果的影响是非常大的。
一、 权数的意义和作用
一、权数的概念
权数：用来衡量总体中各单位标志值在总 体中作用大小的数值叫权数。 权数一般有两种表现形式：一是绝对数 （频数）表示，另一个是用相对数（频率） 表示。相对数是用绝对数计算出来的百分 数（％）或千分数（‰）表示的，又称比 重。
《孟子·梁惠王篇》:“权,然后知轻重。” 意思是说“秤一秤,才晓得轻重”。 《墨子·大取篇》:“于所体之中而权轻重之谓 权”。 《淮南·时则篇》:“权者所以权万物也”。
很显然,这里的“权”是称量的意思,引 伸为权衡,具有权衡轻重之涵义。只有权衡 方知轻重,就象没有规矩不成方圆一样。
那么这里的“权数”又作何解释呢?
x1*
；
（2）决策者在在余下的
m 1 个
指标中，选出认为是最重要（关于某评价准则）
的一个（只选一个）指标记
为
x
* 2
；
（k ）决策者在在余下的 m 1 个指标
中，选出认为是最重要（关于某评价准则）
的一个（只选一个）指标记为
；
xk*
（ m ）经过次挑选剩下的 m (k 1)
评价指标记为 xm* 。
强烈重要
1.8
指标 xk 1 比指标 xk
极端重要
关于之间的数量约束 rk ，有下面的定理：
定理1 若
x1,
x2 ,,
xm
具有序关
系 必
x1
x2
xm
，则rk
与rk 1
须满足
rk 1
1 rk
（2）
k m,m 1,m 2,,3,2
，
定理2
若专家（或决策者）给出 rk
性赋值满足关系上式，则 m 为
这样，就唯一确定了一个序关 系 仅仅x1给* 出x2*了序关系xm*还不。够对，于还某要些确问定题出来各说， 评价指标相对于某评价准则（或目标）的 权重系数。
2）给出 xk 1 与 xk 间相对重要程度的比
较判断
设专家关于评价指标 xk 1 与 xk 的重要
性程度之比k 1 / k 的理性判断分别为
第四阶段从本世纪二十年代以来,可视为反 省阶段。
本阶段的特点是:很少有人再提出新的加权 方法,而是不断“消化”老问题,重温旧争议。
2.权数在统计预测中的应用与扩展
正当指数领域中的权数发展步入低谷之时, 权数在统计预测中有了新的应用与发展,并 且将权数概念由实质性扩展为虚拟性,为权 数的应用范围开辟了一个新的天地。
“数者术数,权数犹言行权之术数”。可见,这 里的“权数”是指权衡轻重的原则和方式、 方法,并不是现代统计科学中的权数。二者 的共同之处在于“权”,而不同之处在于 “数”,
古代权数相当于确定现代统计权数的原则 和方法。因此我们认为,具有“权衡轻重之 数”含义的现代权数是从管仲的“贵轻重, 慎权衡”思想衍生而来的。
3.权数在多指标综合评价中得到进一步扩展
多指标综合评价,只是最近十几年来在统计 研究与统计实践中逐渐发展起来的一项新 课题。在多指标综合评价中,为了对被评价 事物作出一项全面合理的整体性评价,需要 把反映该事物各方面的指标综合在一起,形 成一个综合性指标,由于事物本身发展的不 平衡性,以及评价目标值的侧重点有所不同, 有些指标在综合评价值的形成过程中所起 作用大一些,有些则小一些,这样,就需要对各 个指标进行加权处理。
这就是说,权数思想虽然起源于中国古代, 但是,真正现代统计意义上的权数却始于 十九世纪初英国政治算术学家阿瑟·杨格 的加权算术平均法。
三、权数的发展
因为现代权数始于指数计算,所以权数首先在指数 领域得到充分发展;当指数领域中的权数发展进入 反省阶段以后,权数又开始在统计预测中发挥巨大 的作用,而且统计预测中的权数已经突破了指数领 域中实质性权数的概念;直到最近十来年,随着对多 指标综合评价方法的系统分析,权数概念得到进一 步扩展。这就是权数发展的总体线索。如果从权 数本身的性质来看,权数是由实质性向虚拟性方向 发展的。具体来讲,指数领域中的权数基本上属于 实质性权数,而统计预测和多指标综合中的权数则 属于虚拟性权数。下面就分别从这三个领域来谈 谈权数的发展过程。
此外，为了使判断更加准确，让评价者了 解已确定的权数把握性的大小，还可以运 用“带有信任度的德尔菲法”，该方法需 在上述第五步每位专家给出最后权数值的 同时，标出各自所给权数值的信任度，并 求出平均信任度。这样，如果某一指标权 数的信任度较高，就可以有较大的把握使 用它；反之，只能暂时使用或设法改进。
德尔菲法是调查、征集意见、汇总分析、 反馈、再调查、一个反复的过程，专家们 是处于互不知情的隔离状态，每个人的信 息是他自己的知识、经验、专长以及调查 机构反馈给他的汇总情况的集中体现，这 就便于集中智慧。所以不少方法也都或多 或少地借用这一想法，反复比较、协调， 求得较好的结果和比较一致的意见。
之间按
“
”确立了序关系。这里 xi* 表示{xi}
按关系“
”排定顺序后的第 i 个
评价指标（ i 1,2,,m ）。
对于评价指标集 {x1, x2 ,, xm} ，可按下 属步骤建立序关系：
（1）决策者在指标
集
{x1, x2,, xm}
，选出认为是
最重要（关于某评价准则）的一个（只选一个）
指标记为
同时,我们必须进一步指出,统计预测中的权 数并不象综合指数中的同度量因素那样具 有一定的经济含义,权数与被加权因素之积 也不形成一个新的统计指标,权数本身仅仅 是一组带有主观假定性的抽象数字,它代表 各期数据的可靠性大小及其对预测结果影 响的重要性程度。可见,权数概念在统计预 测中得到扩展,为权数的应用范围开辟了一 个新的天地。
1.权数在指数领域中的发展
权数不但从指数计算开始,而且在近代统计 史上,权数主要是伴随着指数编制的发展而 发展。在综合指数编制的发展过程中,矛盾 的焦点就是权数问题。根据综合指数计算 中确定权数的方法特点,将权数的发展过程 分为如下四个阶段:
第一阶段从1812年至十九世纪50年代,可视 为初创阶段。
第二步，将待定权数的个指标和有关资料 以及统一确定权数的规则发给选定的各位 专家，请他们独立地给出各指标的权数值。
第三步，回收结果并计算各指标权数的均 值与标准差。
第四步，将计算的结果及补充资料返还给 各位专家，要求所有的专家在新的基础上 重新确定权数。
第五步，重复上述第三和第四步，直至各 指标权数与其均值的离差不超过预先给定 的标准为止，也就是各专家的意见基本趋 于一致，以此时各指标权数的均值作为该 指标的权数。
二、序关系分析法 1、方法及步骤 1）确定序关系
定义1 若评价指标xi 相对于某评价准则
（或目标）的重要性程度大于（或不小于）
x j 时，则记为xi x j 。
定义2 若评价指标 x1, x2,, xm 相对于某 评价准则（或目标）具有关系式
x1* x2* xm*
时，则称评价指标 x1, x2,, xm
的理
m 1 m
m 1 ri
k 2 ik
而
k 1 rkk , k m, m 1,,3,2
（3） （4）
证明Байду номын сангаас
m
因为 ri k1 / m
《史记·平淮书》:“齐桓公用管仲之谋,通轻重 之权。”终于使齐国成为春秋时期的第一 强国。因而管仲的治国思想得到广泛流传 并被后人汇记成《管子轻重》一书,这是一 部专门讨论财政经济问题的论著。
“权数”一词最早出现于《管子轻重·山权数 篇》。
桓公问管子曰:“请问权数”。 管子对曰:“天以时为权,地以财为权,人以力 为权,君以令为权。” 要想理解这段话中“权数”一词含义,请先 看“权”之涵义。
统计权数论 曾宪报 东北财大 关于多指标综合评价方法及其权数问题的 讨论 金贞珍 延边大学
二、权数的确定方法
一、德尔菲法 德尔菲法（ 又称为专家咨询法，其特点在 于集中专家的经验与意见，确定各指标的 权数，并在不断的反馈和修改中得到比较 满意的结果。基本步骤如下：
第一步，选择专家。这是很重要的一步， 选得好不好将直接影响到结果的准确性。 一般情况下，可以选本专业领域中既有实 际工作经验又有较深理论修养的专家10— 30人左右，并须征得专家本人的同意。
k 1 / k rk k， m,m 1,m 2,,3,2