一元二次方程 根的分布
ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)
T1:如何判断方程实数解的个数? T1:如何判断方程实数解的个数? 如何判断方程实数解的个数 T2:根系关系(韦达定理)? T2:根系关系(韦达定理)? 注: (1)前提条件 两根同号; (2)两根同号;两根异号 两根同正; (3)两根同正;两根同负 一正一负,且正根的绝对值大; (4)一正一负,且正根的绝对值大; 一正一负, 一正一负,且负根的绝对值大 (5)常见的恒等变形
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与线段AB : x + y = 3,0 ≤ x ≤ 3,有1个交点; 2个交点;以及没有交点?
例3 :已知关于x的方程3x 2 5x + a = 0的 一根大于 2而小于0,另一根大于1而 小于3,求a的取值范围.
例4 :已知函数f ( x ) = (m - 2) x 2 4mx + 2m - 6 的图像与x轴的负半轴有交点,求实数m 的取值范围.
(6)k1 < x1 ≤ x2 < k 2 a>0 a<0 ≥0 ≥0 b b < k 2 或k1 < < k2 k1 < 2a 2a f (k1 ) > 0 f (k1 ) < 0 f (k 2 ) > 0 f (k 2 ) < 0
注: (1)开口向上出现负值时,不写判别式 )开口向上出现负值时,不写判别式. (2)对称轴位置不确定时,不写 )对称轴位置不确定时,不写. (3)注意开口方向对根的分布的影响 )注意开口方向对根的分布的影响. (4)若不等号改为等号,则需要把所求 )若不等号改为等号, 出的范围的端点值加以检验( 出的范围的端点值加以检验(一定要单 独检验); 独检验); (5)若能直接把方程的根求出来,则无 )若能直接把方程的根求出来, 需讨论,直接求解. 需讨论,直接求解.
例1:关于x的方程kx 2 2 x + k = 0有 实数解,求实数k 实数解,求实数k的取值范围.
例2 : 求实数m的取值范围,使关于x的方程 x + 2(m 1) x + 2m + 6 = 0
2Hale Waihona Puke ( )有两个实根, 且一个比2大, 一个比2小; 1 (2)有两个实根, 且都比1大; (3)有两个实根α , β , 且0 < α < 1 < β < 4; (4)至少有一个正根.
设关于x的一元二次方程ax + bx + c = 0
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(a ≠ 0)的两个根为x1 , x 2 , 且x1 ≤ x 2 , 记f ( x) = ax 2 + bx + c.
≥0 b >k (1)k < x1 ≤ x2 2a a f ( k ) > 0 ≥0 b (2) x1 ≤ x2 < k <k 2a a f ( k ) > 0
T3:一元二次方程根的分布理论? :一元二次方程根的分布理论?
设关于x的一元二次方程ax + bx + c = 0
2
(a ≠ 0)的两个根为x1 , x 2 , 且x1 ≤ x 2 ,
(1)k < x1 ≤ x2
下面k为常数.
(2) x1 ≤ x2 < k
(3) x1 < k < x2 (4)有且仅有一个根满足k1 < x1 < k 2 (5)k1 < x1 < k 2 ≤ p1 < x2 < p2 (6)k1 < x1 ≤ x2 < k 2
例1:一运动物体经过(0, 9),其轨迹方程为 y = ax + c(a < 0)
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(1)为使物体落在x轴上的 7 ≤ x ≤ 6的范围 内,求a的取值范围. (2)若物体运动又经过( 2,.2)点,问它 7 能否落在x轴上的 7 ≤ x ≤ 6的范围内, 并说明理由.
例2 :问m取何值时,抛物线y = -x + mx 1
(3) x1 < k < x2 a f (k ) < 0
(4)有且仅有一个根如x1 , 满足k1 < x1 < k 2 f (k1 ) f (k 2 ) < 0
(5)k1 < x1 < k 2 ≤ p1 < x2 < p2 a>0 a<0 f (k ) > 0 f (k ) < 0 1 1 f ( k 2 ) < 0 或 f ( k 2 ) > 0 f (p ) < 0 f (p ) > 0 1 1 f ( p2 ) > 0 f ( p2 ) < 0