一元二次方程02
=++c bx ax 根的分布情况
设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，
方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分
布情况
两个负根即两根都小于0
()120,0x x << 两个正根即两根都大于0
()120,0x x >>
一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<
大致图象（
>a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f
大
致图象（
<a ）
得出的结论
()00200b a f ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
0200
b a f ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f
综
合结论（不讨论
a
）
()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0
0200
b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a
分
布情况
两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即
21x k x <<
大致图象（
>a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪>⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f
大
致图象（
<a ）
得出的结论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪
-<⎨⎪<⎪⎩ ()0
20
b k a f k ∆>⎧⎪⎪
->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f
综
合结论（不讨论
a
）
()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪
-
<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0
20
b k a a f k ∆>⎧⎪⎪
-
>⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f a
k
k
k
分
布情况两根都在()n
m,内
两根有且仅有一根在()n
m,内
（图象有两种情况，只画了一种）
一根在()n
m,内，另一根在()q
p,
内，q
p
n
m<
<
<
大致图象（
0 > a
）
得出的结论
()
()
2
f m
f n
b
m n
a
∆>
⎧
⎪
>
⎪
⎪
>
⎨
⎪
⎪<-<
⎪⎩
()()0<
⋅n
f
m
f
()
()
()
()
f m
f n
f p
f q
⎧>
⎪
<
⎪
⎨
<
⎪
⎪>
⎩
大
致图象
（
0 < a
）
得
出的结
论
()
()
2
f m
f n
b
m n
a
∆>
⎧
⎪
<
⎪
⎪
<
⎨
⎪
⎪<-<
⎪⎩
()()0<
⋅n
f
m
f
()
()
()
()
f m
f n
f p
f q
⎧<
⎪
>
⎪
⎨
>
⎪
⎪<
⎩
综合结论
（不讨论a ）——————()()0<
⋅n
f
m
f
()()
()()
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
<
q
f
p
f
n
f
m
f
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0
f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1︒ 若()0f m =或()0f n =，
则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2
220
mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()2
2212mx m x x mx -++=--，另一根为
2m ，由2
13m
<<得
2
23
m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数
的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程
24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即
()()141530m m ++<得出15314m -<<-
；②由0∆=即()2
164260m m -+=得出1m =-或32
m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故3
2
m =不满足题意；
综上分析，得出15
314
m -<<-或1m =-
函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0 若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。

根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1
12
m -<<即为所求的范围。

例2、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数
m 的取值范围。

解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1
22
m -<<
即为所求的范围。

例3、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 1
3
m <-即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题 例4.已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围
1.若方程4(3)20x x
m m +-•+=有两个不相同的实根，求m 的取值范围。

2.已知函数421x x
y m =+•+有且只有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点
3.关于x 的一元二次方程0222
=++-a ax x ，当a 为何实数时： （1）不同两根在()3,1之间
（2）有一个根大于2，另一个根小于2 （3）在()3,1内有且只有一解
4.已知a 是实数，函数.322)(2
a x ax x f --+=如果)(x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。