等 差
Sn=
n(a1 an ) 2
数
列 前n
用an= a1+(n-1)d代入上式
项 和
Sn= na1n(n21)d
公
式 .
以上为等差数列及其前n项和的基本内容 进一步地，
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从函数的观点来看等差数列：
数 列 a n 为 等 差 数 列 a n p n q p 、 q 为 常 数 数 列 a n 为 等 差 数 列 S n a n 2 b n a 、 b 为 常 数
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1. 已 知 一 个 等 差 数 列 的 前 四 项 和 为 2 1 ， 末 四 项 和 为 6 7 ， 前 n 项 和 为 2 8 6 ， 求 项 数 。
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性质1 推广的等差数列通项公式
an=aq+ (n-q)d
d
ap p
aq q
性质2 “若下标和相等，则对应项的和相等”
更一般地，对于等差数列{an} ，若p+q=m+n，则 ap+aq=am+an（p、q、m、n均为正整数）
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性质3
从等差数列的某一项开始，每间隔相同数目的项抽取 出来的项按照原来的顺序仍排成等差数列。
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例
已 知 数 列 { a n } 的 前 n 项 和 为 S n n 2 2 n . ( 1 )求 数 列 { a n } 的 通 项 公 式 。 （ 2 ） 求 证 ： { a n } 是 等 差 数 列 。
一般地，
S n a n 2 b n a 、 b 为 常 数 数 列 a n 为 等 差 数 列 . 数 列 a n 为 等 差 数 列 S n a n 2 b n a 、 b 为 常 数
等差数列知识点汇总
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数列(Sequences of numbers )的定义 按照一定的次序排列的一列数叫数列。
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数列的本质
一个数列一旦给定，每个序号都唯一确定地对应 着数列中的一项，即
序号 1 2 3 4 … n …
项 a1 a2 a3 a4 … an… 因此，数列的项是序号的函数（序号是 自变量，项是函数值）， 序号从1开始依次增加时，对应的函数值按 次序排出就是数列，这就是数列的实质。
已 知 数 列 {an}的 通 项 公 式 为 antns,则 数 列 {apn-q} t,s,p,q为 常 数 ， p,qN*,nqp 1是 等 差 数 列 。
性质4 几个等差数列的线性组合仍为等差数列
已 知 数 列 { an } 与 { b n } 都 是 等 差 数 列 。 且 cnp an q b n
差中项 .即 A a b 或 2Aab
2
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等差数列的定义式 a na n 1d(n2 ,n N *)
用定义式判断或证明一个数列为等差数列：
有穷数列 无穷数列
等差数列的递推公式
a1 a
anan1dn2
等差数列的通项公式 a n a 1 n 1 d (n 2 ,n N * )
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根据等差数列的定义式或通项公式 可以证明等差数列的如下性质：
1 2 : 2 S n a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ( a n a 1 ) 共n个括号 a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 a n a 1 2Snn(a1an) 由此S得 nn(： a12an) .
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例 变式
已 知 数 列 {an}的 前 n项 和 为 Snn22n+1, 则 {an}是 怎 样 的 数 列 ？
一般地，
Snan2bnca、 b为 常 数 ,c0
数 列 an从 第 二 项 开 始 为 等 差 数 列 .
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若 数 列 a n 的 前 n 项 和 S n a n 2 b n c a 、 b 、 c 为 常 数
p ,q 为 常 数 ,则 数 列 { cn } 是 等 差 数 列 。
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3. 等 差 数 列 { a n } 的 前 5 项 和 为 0 ， 前 1 0 项 和 为 - 1 0 0 ， 求 它 的 前 2 0 项 的 和 。
练习. 等 差 数 列 { a n } 的 前 m 项 和 为 0 ， 前 2 m 项 和 为 - 1 0 0 ， 求 它 的 前 4 m 项 的 和 。
数列的图像是离散的.点。
等差数列(arithmetic sequences)的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于同一个常数 ，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做该等差数列的公差 (common difference)，通常用“d”表示.
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等差中项
如果 a, A,b 成等差数列，那么 A叫做 a与 b的等
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例 已知一个等差数列的前10项的和是310，前 20项的和是1220，求其前n项和的公式。
解：设该数列的首项为a1，公差为d，依题意有
2100aa1114950dd
310 1220
a1 d
4 6
Sn4nn(n 2 1)63n2n
另解：设Sn=an2+bn
则
100a10b 310 400a20b 1220源自a 3b1
Sn 3n2 n
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从函数的观点来看等差数列：
数 列 a n 为 等 差 数 列 a n p n q p 、 q 为 常 数 数 列 a n 为 等 差 数 列 S n a n 2 b n a 、 b 为 常 数 S n a n 2 b n a 、 b 为 常 数 数 列 a n 为 等 差 数 列 ?
性质5
对 于 等 差 数 列 ， S k , S 2 k S k , S 3 k S 2 k … … 仍 成 等 差 数 列 。
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等差数列的前n项和公式
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等差数列的前n项和公式的推导
设 S S n n a a 1 n a a 2 n 1 a 3 a n 2 a n 1 a 2 a n a 1 1 2 倒相序加
则 当 c0 时 ， 数 列 a n为 等 差 数 列 . 当 c0 时 ， 数 列 a n从 第 二 项 开 始 为 等 差 数 列 .
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Sn与 an的 关 系 : S1a1,SnSn1an(n2,nN*)
练习：{a已 n}的知 n项 前数 的 S 列 n和 1 nn为 ,求通项
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等差数列综合习题