等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n 项和求法。

1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知5a 1=，13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；解：依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为n n n n 23-S b ==。

2．设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． 3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316．【考点梳理】1.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

2.补充的一条性质1）项数为奇数21n -的等差数列有：1s ns n =-奇偶n s s a a -==奇偶中，21(21)n n s n a -=-2）项数为偶数2n 的等差数列有：1n n s as a +=奇偶，s s nd -=偶奇 21()n n n s n a a +=+3.等差数列的判定：{a n }为等差数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==-⇔+++数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）Bn An S n B An a a a a d a a nn n n n n n 22112 即：*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；4.三个数成等差可设：a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ； 四个数成等差可设：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=11--n a a n ，d=m n a a mn --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.2）点)S (n,n 在没有常数项的二次函数2n S pn qn =+上。

其中，公差不为0. 6.等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。

（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大； 2）若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小。

7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等 等 差 数 列 定义 {a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d （常数），n ∈N +⇔2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +） 通项公式 1）n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d ；n a =dn +1a -d b kn += 2）推广：a n =a m +（n －m ）d. 3）变式：a 1=a n －（n －1）d ，d=11--n a a n ，d=mn a a mn --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.求和公式1）n B n A )2(22)1(2)(S 21211⨯+⨯=-+=-+=+=n da n d d n n na a a n n n 2）变式：21n a a +=n S n =n a a a n +⋅⋅⋅++21=a 1+（n －1）·2d=a n +（n －1）·（－2d）.等差中项 1）等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且b =2ca +；a 、b 、c 成等差数列是2b =a +c 的充要条件.2）推广：2n a =m n m n a a +-+重 要 性 质1 m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=；特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…。

2 下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .3 n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。

4)(11n m n m a a n a a d nm n ≠--=--=5 增减性 {}为递增数列n a 0d ⇔> {}为常数列n a 0d ⇔= {}为递减数列n a 0d ⇔<其 它 性 质1 a n =a m +（n －m ）d.2 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .3 a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差；S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；三、合作探究：题型1 等差数列的基本运算 例1 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．解：(1)方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法2 3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，a n ＝a m ＋(n －m)d ⇒a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．(2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ， ∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n ∴S 28＝2×282－17×28＝1092(3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16 S 8＝442)(881=+a a变式训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d . ∵S 7=7，S 15=75， ∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711d a d a 即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a 解得a 1=－2，d =1.∴n S n =a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）=25-n . ∴11++n S n －n S n =21. ∴数列{n S n }是等差数列，其首项为－2，公差为21. ∴T n =41n 2－49n .小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

等差数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个.题型2 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36. 求数列{a n }的通项公式；解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.变式训练2 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n2n＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．小结与拓展：证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明a n －a n －1（n ≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2a n =a n －1+a n +1（n ≥2）. 题型3 等差数列的性质例3 设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2010a =_ _ _．答案：4020变式训练3 在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.答案：52解：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a 1和d （q ）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 题型4 等差数列的前n 项和及最值问题例4 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12＞0，S 13＜0.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，S 3，…，S 12中哪一个最大，并说明理由. 解：（1）a 3=12，∴a 1=12－2d ，解得a 12=12+9d ，a 13=12+10d .由S 12＞0，S 13＜0，即2)(12121a a +＞0，且2)(13131a a +＜0，解之得－724＜d ＜－3.（2）易知a 7＜0，a 6＞0，故S 6最大.变式训练4设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于( A )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。