14
总体X的K阶原点矩和K阶中心矩分别为
E（Xk）(k=1，2，…) 和 E（（X- E（Xk） ）k） (k=2，3，…)
总体的一阶原点矩即为总体的均值，总体的二阶中心矩 即为总体的方差。
15
二、几种常用的抽样分布
样本统计量的分布称为抽样分布，即由 样本统计量的全部可能取值和与之相应的概 率（频率）组成的分配数列。
抽样：就是从总体中抽取有限个个体对总体进行观测的过
程。 样本的二重性。抽样之前，由于总体中各个体有同等被 抽中 的 可 能 ， 抽 中 哪 个个体不能确定，因此样本是一组随
机变量；但当样本被抽取并测试完成后，各个样本点都
是一个确定的数值，样本成为是一组确定的数值。
6
在相同的条件下对总体X进行n次重复独立的观察。将n次观 察结果按试验的次序记为X1， X2，…， Xn 。 由于X1， X2，…， Xn 是对随机变量X观察的结果，且各次观 察是在相同的条件下独立进行的，所以有理由认为X1， X2，…， Xn是相互独立的，且都是与总体X具有相同分布的随机变量。 这样得到的X1， X2，…， Xn 称为来自总体X的一个简单随机
g ( x1 , x2 ,..., xn )
是g(X1， … ，Xn)的观测值
12
总体分布 未知 总体参数 未知 总体其他信息 未知
样本统计量g=g(X1,X2,…Xn) 两个要点：1、是样本的函数
2、不含未知的参数.
样本 X1,X2,…Xn
在统计推断中，一项重要的工作就是寻找统 计量和导出统计量的分布。
20
x 的抽样分布与总体分布和样本量n有关：
总体是正态分布，样本均值总是正态分布 总体非正态分布，随着n的增大，样本均值趋于正态分布
21
中心极限定理
(central limit theorem)
中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总 体中抽取容量为 n 的样本，当 n 充分大时，样本均值的 抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布

2 (n)
x
36
附表3中给出了自由度n≤45的2分布的上 α 分位数值. 如对于 0.1, n 25 查附表3得 0.12 (25) 34.382
方便通过EXCEL查分位点，函数为CHIINV。
fx
常用函数
CHIINV
α=0.05 n=55
73.31
α=0.02 n=55
x 0,1
4
总体
总体：研究对象的某项数量指标值的全体。 个体：组成总体的每一个基本元素。
例如:① 某工厂生产的灯泡的使用寿命的全体是一个总体。 每一个灯泡的使用寿命是一个个体。 ② 我校男生的身高的全体是一个总体。
每个男生的身高是一个个体。 总体所含个体的数目称为总体容量.
5
样本
样本：通过随机观测或试验的方法，获得的总体中一部分 个体，称为样本，每个个体称为样本单位。
22
23
24
25
26
27
28
x
样本均值的抽样分布图
合计
1
18
所有可能样本均值的均值和方差
x xi pi 22 1 23 2 28 1 25 16 16 16 i 1
M
x
x x
7 i 1 i
2
fi
1 2 2 21 22 25 1 (23 25) 2 (28 25) 16 25 X
是直接使用样本本身,而是对样本进行“处理”,将
所需信息浓缩集中起来针对不同的问题，构造样本
的适当函数——统计量进行统计推断。
11
一、 统计量
如果样本X1， … ，Xn的函数g=g(X1， … ，Xn)不含未
知参数，则称g(X1， … ，Xn)是一个统计量。
如果x1， … ，xn是对应于样本X1， … ，Xn的样本值， 则称：
例设一个总体含有4个
个体，即总体单位数N=4，
其 取 值 分 别 为 X1=22 、 X2=24、X3=26 、X4=28 。
总体的均值、方差：
X 25 5
2
16
现从总体中抽取 n ＝ 2 的简单随机样本，重复抽样条件 下，共有 42=16 个可能样本。所有可能样本的结果列表如 下，试分析样本均值的分布。
样本均值的均值（数学期望）等于总体均值；

16

样本均值的方差等于总体方差的1/n。
19
事实上，对于来自均值和方差分别为

和 2 的总体的一个简单随机样本X1，
X2，…， Xn ，其样本均值的数字期望和
2 方差分别为 x 和 x
2
n
。
一般称 x

n
为样本均值的抽样误差。
x2 e 2
分布函数为密度函数的积分
4 2 0
2
4
x
26
分布函数为
(1) (0)=0.5
( x) P{ X x}

t2 x 1 2 dt , e 2
(2) (+∞)＝1；
x
1 e 2
x2 2
(3) (x)＝1－ (－x). 一般的概率统计教科书均附有 标准正态分布表供读者查阅 (x)的值.(附表1)如,若 X~N（0,1),(0.5)=0.6915, P{1.32<X<2.43} =(2.43)-(1.32)=0.9925－0.9066 例题：课本74页
所有可能样本及其样本均值（ n = 2）
第一个 样本单位
第二个样本单位 A（22）
AA(22)
BA(23)
B（24）
AB(23)
BB(24)
C（26）
AC(24)
BC(25)
D（28）
AD(25)
BD(26)
A（22）
B（24）
C（26） D（28）
CA(24) DA(25)
CB(25) DB(26)
所谓一个分布的 上侧分位数就是指这样一个数，
它使相应分布的随机变量不小于 ( 大于等于）该数的
2 概率为,比如，若记2变量的上侧分位数为 ，则
满足
2 p( 2 )
d
查表313页附表3
20.995Βιβλιοθήκη 11）=2.603 20.01（13）=27.688
f n ( x)
CC(26) DC(27)
CD(27) DD(28)
17
样本均值的抽样分布
均值 22 23 24 25 26 概率 1/16 2/16 3/16 4/16 3/16
将表中样本的均值的各种可能取 值及其可能性（概率）加以整理， 绘制成分布表和分布图如下：
P(x)
0.3
0.2
0.1
0
27
28
2/16
1/16
x
x
P( X x )
f ( x )dx
f ( x )dx 1
f ( x)
黄色阴影部 分概率为α
P ( X x )

的点 xα 为X的上 α 分位数
(简称为上分位点).
上侧分 位数
29

x
（一） 2分布
1. 2分布的定义和密度函数
设X1， … ，Xn是相互独立，服从标准正态分布
第三章 抽样分布
1
第一节 随机样本
研究的标志
统计 推断 中的 总体 及总 体分 布
组成元素 具体对象
组成元素 变量的具体 取值
实物总体
数字总体
例：1000个零件的直径 1000个零件的集合 零件直径的集合
组成元素：每个零件
组成元素：直径观测值
2
对一个总体而言，个体的取值是按一定规律分布
的。任取一个零件，其直径取值是按一定概率分布的。 对某个总体而言，总对应着一个随机变量X，总体 分布就是指随机变量的概率分布。
78.62
37
（二）
t 分布
1. t分布的定义和密度函数
定义:若X～N(0, 1), Y～2(n), X与Y独立，则
X T ~ t (n). Y /n
t(n)称为自由度为n的t分布，记为T～t(n)。 t(n) 分布的概率密度为
新构造的随机变量为原随机变量平方和
31
2(n)分布是参数为n/2,1/2的Γ分布，即2(n)的密度函数为
1 2n / 2 ( n / 2) x e , x 0 f ( x) x0 0,
n x 1 2 2
32
图
2的概率密度曲线
2分布随着自由度ｎ增加，分布渐近于正态。
一个任意分 布的总体
x
n
当样本容量足够 ≥ 30) ， 大时(n 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
x
X
22
中心极限定理
(central limit theorem)
x 的分布
趋于正态 分布的过 程
23
一般正态分布
1. 定义 若随机变量X的密度函数为
1 2 2 f ( x) e 2 其中 x ( x )2
f ( x)
0

x
式中 为实数, >0 .则称X服从参数为 ,2的正态分 布,亦称高斯分布.记为N(, 2).可表为X～N(, 2). 图象见右上角
24
正态分布有两个特性： (1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=对称
1 f()＝maxf(x)＝ 2
0
f ( x) f ( x)
2 N(0,1)的随机变量，则称随机变量： 2 X12 X n
所服从的分布为自由度是n的 2 分布，即