min(
X
1
,
X
2
,
X
3
,
X
4
)
，1
2
4 i 1
X
2 i
，|
X4
X1 |中哪些是统计量，哪
些不是统计量，为什么？
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第三章 抽样分布
第三章 抽样分布
主
第一节 随机样本
要
第二节 抽样分布
内
容
本章小节
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第三章 抽样分布
第一节 随机样本
在统计学中，我们研究的问题一般集中在研究对 象的某一数量指标。 比如某型号的电子元器件的寿 命、一批某种产品的合格率等。因而，需要考虑通过 与这一数量指标相联系的随机试验，来对这一数量指 标进行试验或观测。
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第三章 抽样分布
4. F 分布
P(F F ) F f (x)dx (0 1)
F分布图 上一页
F
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第三章 抽样分布
5. 基4于.正3 态样总本体平样均本数的的均抽值样与方分差布的分布
有限总体
有限总体若采取有放回抽样，则与无限总体等价。有限 总体容量为N而采取无放回抽样，且n/N≤0.1，仍可视 为无限总体，而当n/N>0.1时则
第三章 抽样分布
3.t 分布
设 X ~ N(0,1) ，Y ~ 2 (n)，且设X与 Y 独立，则称统 计量
T X Y /n
为服从自由度为n 的 t 分布，记为t ~ t(n) 。 可以证明，当 n 充分大时，t 分布趋向于标准正
态分布。
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第三章 抽样分布
3. t分布（Students 分布）
计量
2
X
2 1 n
为服从自由度为n 的 2 分布，记为 2 ~ 2(n)
2 的一个重要性质：可加性
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第三章 抽样分布
2. χ 2分布
χ2分布图 上一页
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第三章 抽样分布
查表：
2. χ 2 分布
对于给定的α，0<α<1，可在 χ分2 布表中查得，即
为样本方差，称统计量 S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
为样本标准差；统计量
Ak
1 n
n
X
k i
,
k
i 1
1,2,
称为样本 k 阶原点矩；统计量
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X)k ,k
2,3,
称为样本的 k 阶中心矩。
这些统计量的观测值分别为
(3.2.3) (3.2.4)
x
1 n
n i 1
xi
， s2
1n n 1 i1 (xi
x)2
，s
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
，
ak
1 n
n i 1
xik
（ k 1,2,
）， bk
1 n
n
(xi
i 1
x)k
（ k 2,3,
）。
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第三章 抽样分布
第二节 抽样分布
二、几个常用的抽样分布
抽样分布的定义 统计量的分布称为抽样分布。 来自正态总体的几个常用统计量的分布，已 有一些重要的结果（人们已经获得这些统计量 的具体的分布密度函数）。下面介绍来自正态 总体的几个常用统计量的分布。
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第三章 抽样分布
（四）基于正态总体样本的均值与方差的分布
设 X1, X 2, , X n 来自正态总体 N (, 2 )的样本， X , S 2 分别为样本的均值和方差。则
X ~ N (, 2 );
n
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1); 2
X ~ t(n 1)
S/ n
如果Xi ~ N(i ,i2)(i 1,2,n), 且相互独立。 对于常数 ，有ai下式成立：
n
n
n
X i ~ N ( i , i 2 )
i1
i1 i1
aX i
~
N
(a
i
,
a
2
2 i
)
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第三章 抽样分布
2. 2 分布
设 X1,
X
2 ,
,
X
是来自总体
n
N (0,1)
的样本，则称统
P 2( n ) 2
f ( x,n )dx
x2
例如 即指
χ
2 0.1
(10)
15.987
P 2 (10 ) 15.978 f ( x;n )dx 0.1 15.978
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第三章 抽样分布
2 分布具有下面的性质：
1 2 分布的可加性
设 12
~
2
(n1
最常用的统计量是所谓的样本矩。设 X1, X 2 , , X n 是来自总体 X 的一
个样本， x1, x2 , , xn 是这一样本的观测值，称统计量
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值；称统计量
S 2
1n n 1 i1 ( X i
X )2
(3.2.1) (3.2.2)
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第三章 抽样分布
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第三章 抽样分布
几种与正态分布有关的概率分布
正态分布
几
种
χ 2 分布
概
率
分 布
F分布
t分布
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第三章 抽样分布
1. 正态分布
若随机变量X的概率密度函数
f (x)
1
e ,
(
x) 2 2
2
2
x
记为 X ~ N (, 2 )
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➢ 对于实际应用中的比率问题，给出了大样本下 的抽样分布。
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第三章 抽样分布
思考题
在总体 N(, 2 ) 中抽取样本 X1, X 2 , X 3, X 4 ，其中 已知而
4
2 未 知 。 在 样 本 的 函 数 ： X i ， X1 X 2 3 ， i 1
min(
因此采用简单随机抽样保证随机样本与总体具有 相同的概率分布。
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第三章 抽样分布
4.1 关于抽样的基本概念
样本统计量与抽样分布:
在简单随机抽样中，样本具有随机性，样本的
参数 x,s2等也会随着样本不同而不同，故它们是样
本的函数，记为g（x1, x2,……, xn），称为样本 统计量。
量，即
P{X x} p x (1 p)1x , x 0,1
(3.1.1)
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第三章 抽样分布
4.1 关于抽样的基本概念
从总体中抽取有限个个体对总体进行观测的过程叫做抽样。
在相同的条件下我们对总体 X 进行 n 次重复的、独立的观测，将 n 次观测结果按试验 的次序记为 X1, X 2 , , X n ，由于 X1, X 2 , , X n 是对随机变量 X 观测的结果，且每次观 测是在相同的条件下独立进行的，故可以认为 X1, X 2 , , X n 是相互独立的，且都是与总体 X 具有相同分布的随机变量。 这样得到的 X1, X 2 , , X n 称为来自总体 X 的一个简单随 机样本， n 称为这个样本的容量。 当 n 次观测结束后，我们就得到一组实数 x1, x2 , , xn ， 它们依此是随机变量 X1, X 2 , , X n 的观测值，称为样本值。
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第三章 抽样分布
设
X1, X 2 , , X n1
为来自正态总体
N
(1,
2 1
)
的样本，
Y1,Y2 , ,Yn2
为来自正态总体
N
(
2
,
2 2
)
的样本
，
X , S12
Y
,
S
2分别为两个样本的均值和方差。则
2
当 1 2 时，则
S12
2 2
/ S22
/ 12
~
F(n1 1, n2
统计量的概率分布称为抽样分布（Sample distribution）
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第三章 抽样分布
第一节 随机样本
例如，检验从某一条生产线上生产出来的产品是次品还是 正品，我们以 0 表示产品为正品，以 1 表示产品为次品。 假设
出现次品的概率为 p （常数），那么总体是由一些“0”和“1” 组成，这一总体对应一个具有参数为 p 的（0-1）分布的随机变
非标准正态分布向标准正态分布的转化
若 X ~ N(, 2 )
标准化因子
X
U
则U∽N（0，1）
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第三章 抽样分布
查表
1. 正态分布
当u大于零时，可查正态分布表
但如果u<0时，则可由式φ（-u）=1-φ(u)
求出
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