量子力学2012复习题一、 简答题：1. 试简述Bohr 的量子理论。

2. 试给出测不准关系的数学表达式，并说明其意义。

3. 简述量子力学的态叠加原理及其与测量概率的关系。

4. 写出在任意态|ψ〉下测量力学量F 所得平均值的一般表达式。

5. 设粒子在势场V (r )中运动，写出相应的含时薛定谔方程和定态薛定谔方程；或给定态函数求势能表达式。

6. 简述束缚态、非束缚态及相应能级的特点。

7. 在坐标表象中写出自由粒子哈密顿量的表达式及其本征波函数，指出其本征值及其特征。

8. 下列函数哪些函数是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +9. 简述一维谐振子粒子数表象的意义，并在该表象中写出谐振子的哈密顿量表达式和相应的本征态、本征值和本征方程。

对三维谐振子，情况又怎样？ 10. 力学量F 的平均值随时间变化满足d 1[,]d F FF H t i t∂=+∂，由此可得出力学量F 为守恒量的条件，试写出相应条件。

11. 简述量子力学表象变换的意义、幺正变换矩阵满足的条件及幺正变换的特征。

12. 全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？13. 中心力场中粒子处于定态，试讨论轨道角动量是否有确定值。

14. 写出中心力场中粒子的所有守恒量。

15. 力学量完全集2(,)z L L 的共同本征函数是什么？写出相应的本征值及本征方程。

16. 写出氢原子哈密顿算符的本征值（能级）和本证态，简要描述各量子数的意义。

17. 简要描述自旋算符与泡利矩阵的关系以及泡利矩阵的对应关系；在z σ表象中写出泡利矩阵,,z x y σσσ的具体表示。

18. 简述微扰论的基本思想，写出非简并微扰论的能量公式（至二级修正）及波函数（至一级修正），并能计算相关问题。

19. 简述变分法的基本思想及选取试探波函数的一般原则。

20. 写出一维谐振子升降算符对粒子数本征态的作用结果，并用粒子数本征态的相干叠加表示湮灭算符a 的本证态，即相干态。

二、 填空题1. 算符Aˆ和B ˆ的对易关系[]=B A ˆ,ˆ_____________；测不准关系≥∆⋅∆B A ________________。

2. 自由粒子的质量为m ，能量为E ，其德布罗意波长为_________________(不考虑相对论效应)3. 写出一个证明光的粒子性的实验__________________________；写出一个证明电子具有自旋的实验__________________________。

4. 一维谐振子处于其能量本征态n ψ，则其动能的平均值为__________________；势能的平均值为___________________。

5. 根据氢原子的能级公式，写出电子偶素(e +-e -束缚体系)的能谱_____________________。

6. 二维各向同性谐振子的能级为________________，其简并度为_____________________。

7. 两个自旋为1/2的电子偶合后，其总自旋角动量量子数为____________；相应的简并度分别为__________________和_________________。

8. 设一体系含有两个粒子，每个粒子可处在两个单粒子态1ϕ和2ϕ中的任何一个，则体系可能的状态数目是: (1)两个全同Bose 子__________； (2)两个全同Fermi 子_________； (3)两个不同粒子________________。

9. 在动量表象中，动量的本征态为_____________；坐标的本征态为________________。

10.若电子的状态用旋量波函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r s r z ψψψ描述，则2)2/,( r ψ表示__________________________；2)2/,( -r ψ表示______________________________。

11.在球坐标中，粒子的波函数为),,(ϕθψr ，则在球壳()dr r r +,中找到粒子的概率是_______________；在()ϕθ,方向的立体角Ωd 中找到粒子的概率是____________________。

12.在动量表象中，位置算符x的本征态是_______________；动量的本征态是___________________。

13.设粒子处在状态2211ψψψc c +=（设ψ已经归一化），式中1c 和2c 的物理意义是：__________________________________________________________。

14.粒子在一维无限深势阱中运动，设)0(sin)(a x axA x ≤≤=ψπ，则该波函数的归一化常数为__________________。

15.在0K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，则其德布罗意波长为_____________。

16.正常Zeeman 效应是指：___________________________________________。

17.三维各向同性谐振子能级N E 的简并度为：____________________；氢原子能级n E （n 为主量子数）的简并度为：____________________ 。

18.设有两个全同粒子组成的体系，一个处在1k ϕ态，另一个处在2k ϕ态。

若这两个粒子是Bose子，则体系对称化的波函数为：_________________________；若这两个粒子是Femi 子，则体系反对称化的波函数为：_________________________________________。

19.电子的内禀磁矩与自旋之比为：______ ___；轨道磁矩与轨道角动量之比为：___________。

20.证明电子具有自旋的实验是：__________________________________实验。

21.定态是_________________________________________________________。

22.守恒量是_______________________________________________________。

23.正常Zeeman 效应是指：___________________________________________。

24.物质波的波长λ和频率ν与其动量p 和能量E 的关系为：(1)______________；(2)_______________________。

25.波函数的统计诠释要求波函数应该:______________；_______________；_________________。

26.写出下列表达式的物理意义（1）23132),(r d r d 21r r ψ________________________________；（2）2202),,(sin ϕθψϕθθππr d d dr r ⎰⎰____________________________________________。

27.设在0=t 时刻粒子处在某一能量本征态)(r E ψ，则在t 时刻粒子所处状态的波函数为_________________________________________________。

28.Bohr 的角动量量子化条件是___________________________________。

29.角动量z 分量ϕ∂∂-= i l z 的归一化的本征函数为：_______________________________；本征值为____________________________。

三、 证明题1. 证明:[]z y x L i L L =,2. 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。

3. 利用测不准关系估计无限深势阱中粒子的基态能量，设势阱宽为a 。

4. 求x p x α+的本征函数。

其中α为有量纲的常数，x p 和x分别是一维坐标空间中的动量和位置算符（可不进行归一化）。

5. 证明y z x p z p y l-=是厄米算符。

6. 证明在z l 的本征态下，0==y x l l 。

7. 设),,(x y x V 是x 、y 、z 的次齐次函数（即),,(),,(z y x V c cz cy cx V n =， c 为常数），证明（1） T V n 2= （2）对谐振子有T V =四、 计算题1. 设粒子处在一维无限深方势阱⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤=2/2/0)(a x a x x V中，粒子的波函数为)()(a x Ax x -=ψ，，A 为归一化常数。

(1)求A ； (2) 粒子在何处出现的概率最大。

2. 设体系处在102111Y C Y C +=ψ态，且12221=+C C 。

(1)求力学量z L 的可能值和平均值； (2)求力学量2L 的本征值； (3)写出力学量x L 和y L 的可能值。

3. 设在0H 表象中， 哈密顿的矩阵表示是⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=a E b b a E H 0201，a 、b 是实数。

(1)用微扰法求能量至二级修正；(2)求能量的准确值，并与(1)的结果相比较。

4. 设氢原子的状态为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=),()(23),()(2110211121ϕθϕθψY r R Y r R （1）求轨道角动量的z 分量z L和自旋角动量的z 分量z S 的平均值；（2）求总磁矩S e L e Mμμ--=2（SI 单位制）的z 分量的平均值。

5. 已知0=t 时，氢原子的波函数为100211()2(,,0)()2z r r s t r ψψψ-⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭，其中 ),()()(ϕθψlm nl nlm Y r R r = 满足归一化条件⎰=1|)(|32r d r nlmψ。

试（1）写出任意t 时刻的波函数(,,)z r s t ψ；（2）求能量E 、轨道角动量2ˆL 和z L ˆ、自旋zS ˆ的可能取值和相应的几率以及平均值； （3）计算t 时刻自旋分量xS ˆ的平均值x S 。

6. 在z σˆ表象中，求x σˆ和y σˆ的矩阵表示。

7. 在正交基矢12,ψψ和3ψ展开的态空间中，某力学量200001010A a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，求在态1231122ψψψ=++中测量A 的可能值、几率和平均值。

五、 教材中习题2.12；3.14；3.16；4.1；5.3；7.1；7.6；8.1；8.3；9.1。