3.1证明：如果求积公式（3.4）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（3.4）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立.()()不能成立对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度机械求积公式具有机械求积公式也成立对于线性组合同理可得机械求积公式都成立对于证明：1m 13213213200000)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()]()([)()()]()([)()()()()()()()()(),(1++++=======∴+⋅∴⇐∴==∴⇒+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af xbg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j nk k k nk k k ban k k k bank kkbank k k bank k k bank k k 3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。

右边左边）（时当右边左边）（时当）（公式：次代数精度中矩形公式具有右边左边时当右边左边时当右边左边时当中矩形公式：知：解：根据代数精度定义=-=+++--===-=+++--==+++-≈∴≠--+=+--===-=+--===-=+--==+-≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰;2)()2(4)(6)(;2)()(;)()2(4)(6)(;)(1)()()2(4)(6)()(1;4)2()(;3)()(;2)2()(;2)()(;)2()(;)(1)()2()()(222232233322222a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f ba f a f ab a b dx x f x f b f ba f a f ab dx x f Simpson a b a ab b b a f a b a b dx x f x x f a b b a f a b a b dx x f x x f a b ba f ab a b dx x f x f ba f ab dx x f b a b a ba b a b a b a ba次代数精度公式具有右边，左边）（时当右边左边）（时当右边左边）（时当3;242255)()2(4)(6)(;5)()(;4)()2(4)(6)(;4)()(;3)()2(4)(6)(;3)()(234324555544444333332Simpon b a ab b a b a a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f a b b f b a f a f a b a b dx x f x x f b a b a ba ∴≠--++-=+++--===-=+++--===-=+++--==⎰⎰⎰3.3 已知数据表试分别用Simpson 法与复合梯形法计算积分dx e x ⎰5.11.1.）（复合梯形法：由题意知法：解：4817.46693.320042.31.0)]1.1()21.15.1(2)1.1([221.15.1247754.1)4817.46693.340042.3(151)]1.1()21.15.1(4)1.1([6)1.15.1(5.11.15.11.1+⨯+⨯=+++-≈==+⨯+=+++-≈⎰⎰f f f dx e n f f f dx e Simpon x x3.4若,0)(''>x f 证明用梯形求积公式计算积分dx x f ba⎰)(所得结果比准确值大，并说明几何意义.线围成的曲面面积为该直线与被积函数曲的直线，，梯形插值函数为连接被积函数为严格凸函数几何意义：果比准确值大梯形求积公式得到的结即）（为梯形求积公式，则的准确值，为证明：设1''11''''311))(,()),(,(0)(00)(,0],[)(12--)(T I b f b a f a x f T I T I x f a b b a f a b T I T dx x f I ba -∴>∴<<-∴>>-∈-=⎰ ξξ3.5分别用复合梯形法和复合Simpson 法计算积分dx e x ⎰1，怎样取n 才能保证计算结算结果有6位有效数字.178284.1))(2)21(4)1()0((46117828.1))(2)1()0((170214000005.0|1)-(e 1611801||(a))f -(b)(f )2(1801-||S -I |170000005.0|1)-(e 121||(a))f -(b)(f 12-||T -I |30314169117043'34n 2''22n 10=++++⨯==++⨯=≥≤=-≈≥≤-=-≈∑∑∑⎰===k k k k k k xx f x f f f S x f f f T n nn a b n nn a b dx e I 解得解得）（的准确值，为解：设3.6设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+-+-+≤≤-+-+-+≤≤+=.3.02.0,)2.0(2)2.0(9.0)2.0(15.0009.1;2.01.0,)1.0(2)1.0(3.0)1.0(3.0001.11.00,1)(32323x x x x x x x x x x x f 分别用复合梯形法（n=6）和复合Simpson 法（n=3）计算积分dx x f ⎰3.00)(，并估计误差.)]()(2)([2516b f x f a f hT k k ++=∑=解：0]612[)63.0(1801)]()([)2(180100008125.0]039.0[36123.0)]()([12302425.0]035.1)009.1001.1(2)019.10035.1000125.1(41[183.0]3.0())2.0()1.0((2))25.0()15.0()05.0((4)0([183.0)]()21(2)21(4)([630250625.0]035.1)019.1009.10035.1001.1000125.1(21[123.0)]3.0()25.0()2.0()15.0()1.0()05.0((2)0([123.0433462''2621203≈--=--≈-=-⨯-=--≈-=++++++=++++++=+++++==++++++⨯=++++++⨯=∑∑==a f b f h S I a f b f h T I f f f f f f f b f x f x f a f h S f f f f f f f k k k k3.7导出中矩形公式的余项.3''2'''2'''))((241)2)((21)2()2(])2)((21)2()2([)]2()([)2()()2()()()2()()(a b f dxb a x f dx b a x b a f dx b a x f b a x b a f dxba f x f dxb a f dx x f ba f ab dx x f R ba f ab dx x f b a b a b a b a b a ba ba-=+-++-+=+-++-+=+-=+-=+--=+-≈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ηηη解：中矩形公式： 3.8.（略）3.9设（3.6）是Gauss 公式，证明它的求积系数恒大于零，求积系数之和等于2.12auss );()(1111k 11-∴--∏=≈∑⎰⎰=-≠=n G dx x x x x A x f A dx x f nk jk j nkj j k k 上式的代数精度为公式是其中证明：2x d 11)(111===∴∑⎰=-nk k A x x f 即准确成立上式对于3.10 1)证明)53(95)0(98)53(95)(11f f f dx x f ++-≈⎰-是Gauss 求积公式. 2)用3点Gauss 求积公式计算积分⎰-12dx ex .公式为且节点的代数精度为右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时当右边左边时）：当证明：Gauss f f f dx x f n f f f dx x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x x f f f f dx x f x f )53(95)0(98)53(95)(132535)53(95)0(98)53(95)(;256)53(95)0(98)53(95;72)()(;0)53(95)0(98)53(95;0)()(;52)53(95)0(98)53(95;52)()(;0)53(95)0(98)53(95;0)()(;32)53(95)0(98)53(95;32)()(;0)53(95)0(98)53(95;0)()(;2)53(95)0(98)53(95;2)(1)(111111161151141131121111++-≈∴-⨯==++-≈∴≠=++-====++-====++-====++-====++-====++-====++-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------- 746814.0]959895[212122222]215321[41]21)53(21[11)2121(10≈++≈=+⨯--+-⨯--+--⎰⎰e e e dt edx e t x ）：3.11考虑求积公式),1()()(10Bf x Af dx x f +≈⎰选取求积系数A ，B 和求积节点0x ，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出达到的最高代数精度的次数.2;3610)1(41)31(43;41)()1(41)31(43)(;31;41;43321)3(21)()()2(21)()()1(1)(1)(10331020102011代数精度为右边左边时当）组成的方程组的）（）（解（时当时当时解：当∴≠=+==+≈∴===+===+===+===⎰⎰⎰⎰⎰f f dx x x x f f f dx x f C B A B Ax dx x f x x f B Ax dx x f x x f B A dx x f x f3.12设已给出2)1(1)(x x f +=的函数表试用三点公式计算f ’(x)在x=1.0,1.1,1.2的值，并估计误差.0025.001.0375.0|3)(||)2.1()2.1(|00125.001.0675.0|6)(||)1.1()1.1(|0025.001.0375.0|3)(||)0.1()0.1(|],[75.0)()1(24)(187.0)2066.032268.042500.0(2.01))2.1(3)1.1(4)0.1((21)2.1(217.0)2066.02500.0(2.01))2.1()0.1((21)1.1(247.0)2066.02268.042500.03(2.01))2.1()1.1(4)0.1(3(21)0.1(1.00.11.123'2'23'2'23'2'20353'''01=⨯≤=-=⨯≤-=-=⨯≤=-∈≤+-=-=⨯+⨯-=+-≈-=+-=+-≈-=-⨯+⨯-=-+-≈=-=-=-h f P f h f P f h f P f x x f x x f f f f h f f f h f f f f h f x x h ξξξξξ（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。