系数矩阵有微小扰动对解的影响不大。
例3.3.2 设线性方程组
1 0.99
0.99 x1
0.98
x2
1.99 1.97
试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生
什么样的变化?
解 该方程组的精确解为x (1,1)T。
设系数矩阵有微小的扰动
A
0.0001
0
0 0
即
1.0001
0.99
0.99 0.98
|| (xi yi )ei || | (xi yi ) | • || ei || max || ei || | (xi yi ) | 0
结论成立。
向量范数性质
等价性质：
1)
1 n
||
x
||1 ||
x
||
||
x
||1
2) || x || || x ||1 n || x ||
3) || x || || x ||2 n || x ||
3.3 向量和矩阵的范数 方程组的误差分析
例3.3.1 设线性方程组
1 1
1 x1
1.0005
x2
0 2
试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生
什么样的变化?
解 该方程组的精确解为x (0.99975,0.99975)T。
设线性方程组
1 1
1 x1
1
x2
0 2
系数矩阵有微小扰动,解将产生解x (1,1)T，可见
x1
x2
1.99 1.97
x 所以1.00.90901x1x100.9.989xx2 211.9.979，解得
~ (1)
(50,48.01
则
1 0.99
0.99 0.98
x1 x2
1.9899 1.9701
~ (2)
解得 x (2.97,0.99)T
| P1P2 | (x1 x2)2 (y1 y2)2
表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。
向量范数
定义3.3.1 设任一向量x Rn , 按某一确定的 法则对应于一非负实数|| x ||,且满足:
1)非负性：|| x || 0，当且仅当x 0时，|| x || 0; 2)奇次性：|| kx ||| k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意x, y Rn ,都有 || x y |||| x || || y ||，
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
x 设向量 (x1, x2 ,...,xn )T
x n
|| ||1 | xi |
i 1
x x x x x n
1
1
1
|| ||2 ( | xi |2 ) 2 ( , ) 2 ( T ) 2 (Euclid)
i 1
x||
||
max{|
1in
lim
k
xik
xi*
(i 1,2,...,n)
x x 则称向量序列{ (k)}依次收敛到 *,记作
lim xk x*
k
如果有 lim || xk x* || 0 k
x x 则称向量序列{ (k)}依范数|| || 收敛到 *
x 定理3.3.1 向量序列{ (k)}(k 1,2,...)依
x x 坐标收敛到 *的充分必要条件是{ (k)}依范 数 || || 收敛到x*。
事实上由
x x lim || （k）
k
*
||
0
lim
k
max
1in
x(k) i
xi
0
lim
k
x(k) i
xi*
(i 1,2,...n)
矩阵范数
定义3.3.3 设任意A Rnn ,若按某一确定的法则对
应于一非负实数|| A ||,且满足: 1)非负性:|| A || 0，当且仅当A 0时，|| A || 0; 2)奇次性：|| kA||| k ||| A ||，k R; 3)三角不等式：|| A B |||| A || || B ||,A, B Rnn; 4)相容性：AB A B ，A, B Rnn，
|| y |||| y x x |||| y x || || x || || x y || || y ||
x y x y
向量范数性质
性质2 设x Rn ,则向量范数|| x || 是分量
x1, x2 ,...,xn的连续函数。 证明： ||| x || || y ||||| x y ||
若同时对A, b扰动A, b,则
1.0001
0.99
0.99 x1
0.98
x2
1.9899 1.9701
~ (3)
解得 x (148.5,148.005)T
可见
系数矩阵有微小扰动对解的影响较大。
3.3.1向量和矩阵的范数的定义
为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维 向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大 小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。
则必存在两正数m, M ,使得
m || x || || x || M || x ||
x Rn
向量范数性质
性质1 对任意x，y Rn有 x y x y 。
证明：只要证： || x |||| y || || x y ||
和 || y |||| x || || x y || || x |||| x y y |||| x y || || y ||
xi
|}(Chebyshev)
n
1
x || ||p ( | xi |p ) p (Holder)
i 1
向量范数性质
性质1 对任意x，y Rn有 x y x y 。
性质2 设x Rn ,则向量范数|| x || 是分量
x1, x2 ,...,xn的一致连续函数。
性质3 对R n中定义的任意两种范数|| || ,|| || ,
向量和矩阵的范数
在一维数轴上，实轴上任意一点x到
原点的距离用|x|表示。而任意两点x1， x2之间距离用| x1-x2 |表示。
向量和矩阵的范数
而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到
原点的距离用 x2 y2 | OP 表| 示。而平面上
任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用
x x 例如: 1 || n
||1
1 n
n
|
i 1
xi
| ||
n
||
max{|
1in
xi
|}
|
i 1
xi
|
向量的收敛性
x 定义3.3.2 设Rn中一向量序列{ (k)}(k 1,2,...),其中
x x (k) {x1(k) , x2(k) ,...,xn(k)}T ,如果存在 * (x1*, x2*,...,xn* )T Rn满足