三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cossin22=+αααααtancossin=2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）ααπsin)sin(-=+ααπcos)cos(-=+ααπtan)tan(=+ααπsin)sin(=-ααπcos)cos(-=-ααπtan)tan(-=-ααπcos)2sin(=+ααπsin)2cos(-=+ααπcos)2sin(=-ααπsin)2cos(=-ααsin)sin(-=-ααcos)cos(=-3．两角和与差的公式,βαβαβαsincoscossin)sin(+=+βαβαβαsincoscossin)sin(-=-βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-βαβαβαtantan1tantan)tan(-+=+βαβαβαtantan1tantan)tan(+-=-4．倍角公式αααcossin22sin=1cos2sin21sincos2cos2222-=-=-=αααααααα2tan1tan22tan-=5．降幂公式22cos1sin2αα-=22cos1cos2αα+=ααα2sin21cossin=6．幅角公式xbxaωωcossin+)sin(22ϕω++=xba，其中ab=ϕtan8．补充公式ααααα2sin1cossin21)cos(sin2±=±=±，2cos2sinsin1ααα±=±*知识点睛图象）]1,1[-]1,1[-！最值 当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1； 当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期 ]最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性 奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增； —在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增； 在]2,2[πππ+k k 上单调减对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。

】正切函数x y tan =的图象与性质：定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，值域为R最小正周期是π，在)2,2(ππππ+-k k 上单调增没有对称轴，对称中心为)0,2(πk ，奇函数二．正弦型函数)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的图象!方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将x y sin =图象向左)0(>ϕ或向右)0(<ϕ平移ϕ个单位，得到)sin(ϕ+=x y 的图象； 伸缩变换：纵坐标不变，将)sin(ϕ+=x y 图象上所有点的横坐标缩短)1(>ω或伸长)10(<<ω到原来的ω1倍，得到)sin(ϕω+=x y 的图象，此时函数周期为ωπ2=T ； 振幅变换：横坐标不变，将)sin(ϕω+=x y 图象上所有点的纵坐标伸长)1(>A 或缩短)10(<<A 到原来的A 倍，得到)sin(ϕω+=x A y 的图象，此时函数的最值分别为A 、A -；方法二：先伸缩变换后平移变换伸缩变换：纵坐标不变，将x y sin =图象上所有点的横坐标缩短)1(>ω或伸长)10(<<ω到原来的ω1倍，所得函数x y ωsin =的图象，此时函数的周期为ωπ2=T ；。

平移变换：将x y ωsin =图象向左)0(>ϕ或向右)0(<ϕ平移ωϕ个单位，得到)sin(ϕω+=x y 的图象 振幅变换：同上解三角形1．解三角形：（1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<<C B A 、、0，0sin >A ，C B A sin )sin(=+， CB A cos )cos(-=+，2cos 2sinCB A =+，2sin 2cosCB A =+，ππ<-<-B A2．正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为ABC ∆的外接圆半径}3．余弦定理：在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 ， 其变式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222224．三角形的面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆~三角恒等变换例题精讲点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负符号的确定点评：如果根据αtan 的值求αsin 、αcos 的值，则需考虑α的象限，这里把1写成αα22cos sin +构造关于αsin 、αcos 的齐次式，解法干净利索点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值相等，余弦值、正切值互为相反数，互余的两个角正弦值、余弦值互换。

{点评：正切的和差角公式把)tan(βα±、βαtan tan ±、βαtan tan 联系到一块，任一项都能由另两项表示，如)tan tan )(tan(tan tan βαβαβα-+=+1;点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦'点评：此题主要考查ααcos sin ±与ααcos sin 之间的关系：θθθθcos sin 21)sin (cos 2±=±&常见题型一：给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变换。

另外要观察所给角与特殊角之间的关系，要尽量利用三角公式将非特殊角转化为特殊角。

sin163sin 223sin 253sin313+=_____；】常见题型二：给值求值：解决此类问题的关键在于角的“整体代换”，找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、半、互余、互补（常见题型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的范围。

{$三角函数的图象与性质说明：（1）伸缩变换不会改变ϕ的值，只是将x 变为x ω；（2）若ω相同，就不用做伸缩变换，若ω不同，就一定要做伸缩变换；若ϕ相同，就不用做平移变换，若ϕ不同，就一定要做平移变换； ￥（2）左右平移的量要看发生在自变量x 上的变化。

三．复合函数B x A y ++=)sin(ϕω的性质 最 值：B A +和B A +-；单调性：若0>ωA ，则正向讨论，即令≤-22ππk ϕω+x 22ππ+≤k ，可求得函数的单调增区间；若0<ωA ，则反向讨论，即令≤+22ππk ϕω+x 232ππ+≤k ，可求得函数的单调增区间周 期：最小正周期是ωπ2=T对称性：函数B x A x f ++=)sin()(ϕω的图象仍然是波形，它有无数条对称轴和无数个对称中心令1)sin(0±=+ϕωx ，可求得函数)(x f 的所有对称轴0x x =；（令0)sin(0=+ϕωx ，可求得函数)(x f 的所有对称中心),(0B x、@'点拨：三角函数的值域、最值求法（1）b x a y +=sin (或b x a y +=cos )型：利用三角函数的有界性；~（2）x b x a y cos sin +=型：利用幅角公式转化为)sin(ϕω+=x A y 形式，再利用有界性； （3）c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束；（4）d x c bx a y ++=sin sin 型：分离常数，利用三角函数的有界性（5）dx c bx a y ++=cos sin 型：数形结合法，这里用到直线斜率的几何意义，也可用纯代数法求法（6）c x x b x x a y +⋅+±=cos sin )cos (sin 型：换元t x x =±cos sin ，要注意变量t 的范围[,[A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数（2）函数x x x f 44cos sin )(+=的最小正周期是________，最小值是_______（3）函数2sin)(xx f =的最小正周期是_____； （4）函数21)32sin()(-+=πx x f 的最小正周期是____、点拨：（1）利用降幂公式、幅角公式把已知函数转化为B x A y ++=)sin(ϕω形式，从而得到周期； （2）根据图象变换知识画出函数图象可以直观得到函数周期。

【例12】已知函数x x f ωsin )(=，)22sin()(π+=x x g ，有下列命题：①当2=ω时，)()(x g x f 的最小正周期是2π；②当1=ω时，)()(x g x f +的最大值是89，最小值是2-；③当2=ω时，将函数)(x f 的图象向左平移2π可以得到函数)(x g 的图象；;④当2=ω时，)()(x g x f +的对称中心是)0,82(ππ-k )(Z k ∈ 其中正确命题的序号是_________（把你认为正确的命题的序号都填上） 13.已知函数()sin(),(9,0,||,)2f x A ax A x R πϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示。

（1）求函数()f x 的解析式；（2）当2[6,]3x ∈--时，求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值。

解三角形例题精讲【例1】（1）在ABC ∆中，B A sin sin >是B A >的___________条件…点评：最大角决定三角形的形状，由余弦定理得，较小两边的平方和与最大边的平方的差决定最大角是锐角、直角和钝角。