f n f y

d y
2f 2f 2f x c) y exp( ln y xc dx h h y h 2f 2f 要熟悉积分运算！ y C exp( x) y exp( x) exp(c) h h

可用已知条件： ③ x W 2 时，由 x 0 和已知条件1可得该边界处：
塑性条件可简化为： 平面应变问题 一般地：
1 2 2 2 2 2 ( x y )2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx ) s 3k 2
纯剪变形抗力
2 ( x y )2 4 xy 4k 2
采用相应简化和基本假设后，数学运算比较简单，能计算变形力，所得 计算公式比较直观地（定性）反映加工参数（如摩擦、工件尺寸比、受 力状态）对变形力的影响； 只能分析工模具与工件接触面上的应力分布以及变形力，而无法分析变 形体内部的应力分布； 本课程学习目的：加深理解平衡方程及屈服条件等的含义；边界条件的 确定及其对求解的重要性；解析法的基本特征；简单问题的变形力计算。
“工作面投影代替力的投影”法则：简化变形力的计算
dP n dsn
一般计算方法：
计算每块面积元正应力所对应的力，将力 分解到工具运动方向； 求和得到总的变形力。
d P P d d P d d P cos nncos d
d ss dP P nnd d nn
dP dPn cos ( n ds ) cos n (ds cos ) n dsn
P H n ( x )dx pSn
工程法及其要点
③ 采用近似的塑性条件：在应用屈服准则时忽略摩擦的影响，将接触面 1 d (1 )d d 上的正应力假定为主应力。 +d s E
/ 2
xy= 0，所以：
或 对于轴对称问题 一般地：
x y 2k
d x d y 0
(x y )
x y 2k
(3-4)

2 2 ( r z )2 3 zr T
见《原理》3-4式； p.207：x-y=0错误。 只有当摩擦力很大（接 近k）、有切应力存在时 才成立，而这里我们假 设无切应力。
这里的 k 对应于Mises准则， 若是Tresca，则取k = T/2
⑤ 其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为均质和各向同性 等。
工程法及其要点
工程法求解的主要步骤可以归纳为：
(1)列近似应力平衡微分方程 (2)引入近似塑性条件 (3)代入摩擦条件求解微分方程 (4)利用应力边界条件确定积分常数 (5)确定应力分布函数，求解变形力
P n ds pS
s
变形抗力 工作面积
(3-1)
金属的变形抗力(Kf )是指金属材料在一定温度、速度和变形程度下，保持 原有形状抵抗塑性变形能力的力学指标。与外力数值相等，方向相反。
变形力的计算
计算条件：
工作面积； 正应力在工作面上的分布规律。
* 《原理》的描述不准确，可参阅王 仲仁《塑性加工力学基础》，p.231
微元工作面投影
d ss d

P

s
nds pS
工作面投影 代替力投影 整个工作面（复杂）
P n dsn pSn
sn
(3-3)
整个工作面投影（简单）
工程法及其要点
在塑性状态下，求解物体内应力的大小与分布要比在 弹性状态下困难得多，这主要是因为塑性应力—应变 关系方程是非线性的。 解析法
② 近似的塑性条件： d r
③ 摩擦条件分区（从边沿至中心）：滑动区、粘着区和停滞区。 由已知条件1和2，可以将常微分方程简化为：
d z 2 k 0 dr h
(3-15)
分区求解
① 滑动摩擦区 摩擦力 k
直角坐标平面应变问题求解
问题描述：滑动摩擦条件下矩形块平锤压缩
宽为 W (x方向)，高为 h (y方向)，长 为 l (z方向) 的矩形块，平锤下压缩。 如果 l 比 W 大得多、外力平行于x-y 面作用且沿长度方向不变，则可以简 化为平面应变问题，即仅在x方向和y 方向有塑性流动 矩形工件，适用于直角坐标分析。
r0 fQ r r0t0
r0 fQ rf r0t0
得到 当r
(3-12)
= rf（凸模半径）时，得凸缘部分的拉深应力为：
r K f ln
(3-13)2004版教材有误
圆柱坐标轴对称问题
问题描述 混合摩擦条件下，平锤均匀 镦粗圆柱体时变形力计算。
圆柱坐标
径向力的平衡：
r h rd ( r d r )h( r dr )d 2 k rdrd 2 h dr sin
(自由表面)
y |x W /2 K f
代入:
y C exp(
2f x) h
fW ) h
(3-9)
求出积分常数: C K f exp(

y K f exp[
2 f (0.5W x) ] h
单位长度（z向单位长度)上的变形力：
P 2
W /2
0
( y )dx K f
求解过程
d r 2 k r 0 dr h r
d r d
LevyMises
d r d 'r
' d d
已知条件有：
' 'r
r ① 均匀变形：

d z
r m m
见 (3-4’)式
h fW [exp( ) 1] f h
(3-10)
结果讨论
① 没有讨论其他摩擦条件下的求解； ② 影响压力的因素有变形抗力 K f ,摩擦系数 f, 高度h及宽高 比W h； ③ 典型应用：板材轧制
极坐标平面应变问题
问题描述
不变薄拉深： 由于板厚不变化，变形区主要 是在凸缘部分，发生周向的压 缩及径向延伸的变形，是一种 适用于极坐标描述的平面应变 问题。 径向力平衡微分方程
T s 当累积塑性变形为0时，
工程法及其要点
④ 简化接触面上的摩擦
通常采用以下两种近似关系： 库仑摩擦定律： 常摩擦定律： 其中
k f n
（滑动摩擦）
(3-5) (3-6)
k k
（粘着摩擦）
k
f
n k
— 摩擦应力 — 正应力 — 屈服切应力( k — 摩擦系数
T
3)
工程法及其要点
工程法的主要假设与简化处理
工程法又称为主应力法 或切块法 (Slab method)
① 平面应变和轴对称处理：把实际变形过程视具体情况的不同 看作是平面应变或轴对称问题。如平板压缩、宽板轧制、圆 柱体镦粗、棒材挤压和拉拔等。复杂过程：分段处理。 ② 假设应力只沿工件一个方向变化：截取包括接触面的基元 块，假设仅在接触面上有正应力和切应力（摩擦力），而在 切面上只有正应力，且其分布均匀。本质：变形体内的应力 分布仅是一个坐标的函数，由此建立的平衡微分方程为常微 分方程。
r rtd ( r d r )t ( r dr )d 2 tdr sin
r drd d r drd d r rd 2 dr sin
d d d sin 0 2 2 2 均为主应力，同时忽略高阶(3阶)微分项， r、 由于变形的对称性， 因此平衡微分方程为：
其它坐标系下的平衡微分方程 （简单介绍或自习）
说明：对应于彭大署《金属塑性加工原理》：第3章，方程编号一致
变形力的计算
变形力
在塑性加工过程中，工具通过与坯料的接触面，对坯料施加 作用力，当此作用力达到一定值时，坯料发生塑性变形，此 时工具作用在坯料上的作用力称为变形力（总是取正值）。 单位面积上的变形力称为单位变形力或变形抗力。 变形力是确定设备能力、正确设计工模具、合理拟订工艺规 程和确定毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。 变形力一般是工作面上工作应力在工具运动方向上投影值的 总和，即：
设接触面上作用有正压力 y 和摩擦应力 k 。于是单元体 力平衡方程为：
x 方向的
x h ( x d x ) h 2 k dx 0
d x 2 k 0 dx h
(3-7)
主要步骤： (1)列近似应力平衡微分方程 (2)引入近似塑性条件 (3)代入摩擦条件求解微分方程 (4)利用应力边界条件确定积分常数 (5)确定应力分布函数，求解变形力
=
2 2
zr= 0，所以：
2
d r d z 0
(3-4’)
单拉或单压变形抗力 （又叫流变应力）
1 2 2 3 3 1
2 2 2 2 2 z z 6 z =2 s =2 s 2
在平面内，若设应力沿某一坐标轴方向的分布均匀，则只需考虑另 一方向的变化，从而避免原来需要的二重积分。
P n dsn pSn
sn
(3-3) (3-3’) (3-3’’)
一般地： 设沿 y 向均匀， y 向尺寸H，则：
P n ( x, y )dxdy pSn
x, y x
由于 d 很小，sin
（圆柱坐标径向力平衡，3D）
径向体力=0 r zr r Kr 0 r z r 切应力=0 （徐8-22或彭1-27）
d d ，忽略高阶 (3) 微分，得： 2 2
无摩擦 相同
d 0 2
d r 2 k r 0 dr h r