2 1 dε x = 3 dλ[σ x − 2 (σ y +σ z )]; 2 1 dε y = dλ[σ y − (σ z +σ x )]; 3 2 dε = 2 dλ[σ − 1 (σ +σ )]; z x y z 3 2
dγ xy = dλτ xy dγ yz = dλτ yz dγ zx = dλτ zx
2G 2G
2G
E—弹性模量；µ—泊松比；G—剪切模量 弹性模量； 泊松比；
E G= 2(1+ µ)
2 塑性应力应变关系（本构关系） 塑性应力应变关系（本构关系）
特点： 特点：
（1）应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全 应力与应变之间的关系是非线性的，因此， 量应变主轴与应力主轴不一定重合。 量应变主轴与应力主轴不一定重合。 （2）塑性变形时可以认为体积不变，即应变球张量 ）塑性变形时可以认为体积不变， 为零，松泊比ν＝ 为零，松泊比 ＝ 0.5 。 （3）对于应变硬化材料，卸载后再重新加载时的屈 ）对于应变硬化材料， 服应力就是卸载时的屈服应力， 服应力就是卸载时的屈服应力，比初始屈服应力 要高。 要高。 （4）塑性变形是不可逆的，与应变历史有关，即应 ）塑性变形是不可逆的，与应变历史有关， 应变关系不再保持单值关系。 力－应变关系不再保持单值关系。应力与应变不能 一一对应，与加载历史和加载路径有关。 一一对应，与加载历史和加载路径有关。
材料塑性变形时，应力不仅与应变有关， 材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与 材料变形历史、 材料变形历史、组织结构等因素有关 材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结 材料塑性变形时的应力与应变关系， 为等效应力与等效应变之间的关系
σ = f (ε )
几种简化模型
σ = f (ε )
材料增量塑性本构关系
材料全量塑性本构关系
简单加载 指在加载过程中，各应力分量按同一比例增加。 指在加载过程中，各应力分量按同一比例增加。 为了建立全量理论，需要提出以下几点假设： 为了建立全量理论，需要提出以下几点假设： 应力主方向与应变主方向是重合的； ① 应力主方向与应变主方向是重合的； 塑性变形时体积保持不变； ② 塑性变形时体积保持不变； dε x + dε y + dε z = 0 应力偏量分量与应变偏量分量成比例； ③ 应力偏量分量与应变偏量分量成比例； 等效应力是等效应变的函数， ④ 等效应力是等效应变的函数，对于不同材料这个 函数都可以通过实验来确定； 函数都可以通过实验来确定；
Levy—Mises理论 Levy—Mises理论 再利用等效应力公式
1 2 2 2 (σx −σ y )2 + (σ y −σz )2 + (σz −σx )2 + 6 τ xy +τ yz +τ zx σ= 2
[
(
)]
整理后可得瞬时比例系数d 整理后可得瞬时比例系数dλ
3 dε dλ = 2σ
材料增量塑性本构关系
1 γ xy = τ xy 2G′ 1 γ yz = τ yz 2G′ 1 γ zx = τ zx 2G′
材料全量塑性本构关系
再利用等效应力和等效应变公式
1 2 2 2 (σx −σ y )2 + (σ y −σz )2 + (σz −σx )2 + 6 τ xy +τ yz +τ zx σ= 2
1 γ xy = τ xy 2G′ 1 γ yz = τ yz 2G′ 1 γ zx = τ zx 2G′
上式与广义虎克定律非常相似， 上式与广义虎克定律非常相似，只要将广义虎克 定律中的E 分别用E’、G’、0.5替代即可 替代即可。 定律中的E、G、µ分别用E’、G’、0.5替代即可。但 广义虎克定律中E 都是常数，而全量理论中E’、 是广义虎克定律中E、G都是常数，而全量理论中E’、 G’是与材料性能和加载历史有关的变量 G’是与材料性能和加载历史有关的变量
σ = E′ε
E’为塑性模量，与材料性能和塑性变形程度有关 E’为塑性模量 为塑性模量，
材料全量塑性本构关系
根据以上假设， 根据以上假设，可以写出如下方程
1 ′ ′ εij = εij = σij 2G′
G’为塑性剪切模量，与材料性能和塑性变形程 G’为塑性剪切模量 为塑性剪切模量， 度有关
1 1 ε x = 3G′ [σ x − 2 (σ y +σ z )]; 1 1 [σ y − (σ z +σ x )]; ε y = 3G′ 2 ε = 1 [σ − 1 (σ +σ )]; y z 3G′ z 2 x 1 γ xy = τ xy 2G′ 1 γ yz = τ yz 2G′ 1 γ zx = τ zx 2G′
材料增量塑性本构关系
Levy—Mises理论 Levy—Mises理论 正应变增量两两相减，并将切应变的表达式 正应变增量两两相减， 一起写出
dε x − dε y = dλ(σx −σ y ); dε y − dε z = dλ(σ y −σz ); dε − dε = dλ(σ −σ ); x z x z
′ dε ij = σ ij ⋅ dλ
dλ—正的瞬时比例系数，在加载的不同瞬时是 正的瞬时比例系数， 变化的， 变化的，在卸载时 dλ=0
材料增量塑性本构关系
Levy—Mises理论 Levy—Mises理论 的展开式为（ 2.73） ′ dε ij = σ ij ⋅ dλ 的展开式为（式2.73）
σ = Eε
比例常数E为弹性常数（杨氏模量）。 比例常数 为弹性常数（杨氏模量）。 为弹性常数 弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程） （2）弹性变形是可逆的，与应变历史（加载过程） 无关，即某瞬间的物体形状， 无关，即某瞬间的物体形状，尺寸只与该瞬时的 外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。 外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。 （3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积的变 ）弹性变形时， 泊松比ν＜ 化，泊松比 ＜ 0.5 。 应变主轴与应力主轴重合。 （4）应变主轴与应力主轴重合。
张量表达式为
3 dε ′ dεij = σij 2σ
材料全量塑性本构关系
材料增量本构理论虽然比较严谨，与实际 材料增量本构理论虽然比较严谨， 情况比较接近。但是在实际应用时需要沿 情况比较接近。 加载路径积分， 加载路径积分，从工程应用的角度讲是不 方便的。 方便的。 在塑性变形时，只有满足简单加载 简单加载（ 在塑性变形时，只有满足简单加载（也称 比例加载）条件时， 为比例加载）条件时，才可以建立材料全 量本构理论（ 量本构理论（描述应力与全量应变之间的 关系） 关系）
材料弹性本构关系
广义虎克定律 1 ε x = E [σ x − µ(σ y +σ z )]; 1 ε y = [σ y − µ(σ z +σ x )]; E 1 ε z = [σ z − µ(σ x +σ y )]; E
γ yz = γ zx = γ xy =
τ yz τ zx τ xy
材料增量塑性本构关系
Levy—Mises理论 Levy—Mises理论 材料为理想刚塑性材料， 材料为理想刚塑性材料，即弹性应变增量为 塑性应变增量就是总应变增量； 零，塑性应变增量就是总应变增量； 材料服从Mises屈服准则 屈服准则， 材料服从Mises屈服准则，即 σ = σs ； 塑性变形时体积不变， 塑性变形时体积不变，即应变增量张量就是 应变增量偏张量； 量成正比
代入等效应变增量 dε
dε = 2 3
dγ xy =τ xydλ dγ yz =τ yz dλ dγ zx =τ zxdλ
(dε
x − dε y ) + (dε y − dε z ) + (dε z − dε x ) + 2 2 2
3 2 2 2 dγ xy + dγ yz + dγ zx 2
(
)
材料增量塑性本构关系
σ = f (ε )
单向拉伸时的应力-应变曲线示意图 单向拉伸时的应力 应变曲线示意图
1. 弹性应力应变关系（本构关系） 弹性应力应变关系（本构关系）
特点： 特点：
应变关系， （1）线弹性应力~应变关系，应力与应变一一对应。 线弹性应力 应变关系 应力与应变一一对应。 符合胡克定律： 符合胡克定律： 胡克定律
[
(
)]
2 2 2 2 ε= (ε x −ε y )2 + (ε y −ε z )2 + (ε z −ε x )2 + 6(γ xy + γ yz + γ zx ) 3
整理后可得 利用
σ =3G′ε
E′ = 3G′
σ = E′ε
材料全量塑性本构关系
全量形变理论可以表示为
1 1 ε x = E′ [σ x − 2 (σ y +σ z )]; 1 1 ε y = [σ y − (σ z +σ x )]; E′ 2 ε = 1 [σ − 1 (σ +σ )]; y z E′ z 2 x
Levy—Mises理论 Levy—Mises理论 可得Levy—Mises本构理论为 可得Levy—Mises本构理论为
1 dε dε x = σ [σx − 2 (σ y +σz )]; dε 1 dε y = [σ y − (σ z +σ x )]; σ 2 dε = dε [σ − 1 (σ +σ )]; y z σ z 2 x 3 dε dγ xy = ⋅ τ xy 2 σ 3 dε dγ yz = ⋅ τ yz 2 σ 3 dε dγ zx = ⋅ τ zx 2 σ
2.4 塑性应力应变关系（本构关系） 塑性应力应变关系（本构关系）
材料塑性应力与应变关系称为材料塑性本构关 材料塑性应力与应变关系称为材料塑性本构关 其数学表达式称为本构方程 也称为物理 本构方程， 系，其数学表达式称为本构方程，也称为物理 方程 材料塑性变形时，应力不仅与应变有关， 材料塑性变形时，应力不仅与应变有关，还与 材料变形历史、 材料变形历史、组织结构等因素有关 材料塑性变形时的应力与应变关系， 材料塑性变形时的应力与应变关系，可以归结 为等效应力与等效应变之间的关系