当前位置:文档之家› 北师大高中数学必修四知识点非常详细)

北师大高中数学必修四知识点非常详细)

北师大高中数学必修四知识点第一章 三角函数2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360| αββ}4、弧度制:(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。

半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l rα=.(2)度数与弧度数的换算:π= 180 rad ,1 rad '185730.57)180(=≈=π(3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则:弧长公式:r l ||α= ;扇形面积:2||121r lr S α===5、三角函数:(1)定义:①设α是一个任意角,那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α= 弦,记作cos α,即cos α=u ; 当α做α的正切,记作tan α, 即tan α=uv .②设α是一个任意大小的角,α是(),x y ,它与原点的距离是(r OP r ==>则sin y r α=,cos x r α=,()tan 0y x xα=≠ (2)三角函数值在各象限的符号:口诀:第一象限全为正;二正三切四余弦.(3)特殊角的三角函数值x y ++_ _ O x y ++ _ _O x y ++__ O6、三角函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z .口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.()()2sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()3sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()()4sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()5sin 2sin παα-=-,()cos 2cos παα-=,()tan 2tan παα-=-.口诀:函数名称不变,正负看象限.()6sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,tan cot 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()7sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,tan cot 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 口诀:正弦与余弦互换,正负看象限. 7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:8、函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的相关知识: (1)()sin y x b ωϕ=A ++的图象与x y sin =图像的关系:①振幅变换:x y sin =x A y sin =②周期变换:x y sin =x y ωsin =③相位变换:x y sin =)sin(ϕ+=x y④平移变换:sin(ω=x A y ()sin y x b ωϕ=A ++先平移后伸缩:函数sin y x =的图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位,得到函数()sin y x ϕ=+ 的图象;再将函数()sin y x ϕ=+的图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕ个单位图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍图象上每个点的横坐标变为原来的ω1倍,纵坐标不变图象整体向上(0>b )或向下(0<b )图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上(0>b )或向下(0<b )平移b 个单位,得到函数()sin y x b ωϕ=A ++.先伸缩后平移:函数sin y x =的图象上每个点的横坐标变为原来的1ω倍,纵坐标不变,得到函数sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象整体向左(0>ϕ)或向右(0<ϕ)平移ϕω个单位,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上每个点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标不变,得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象;再将函数()sin y x ωϕ=+的图象整体向上(0>b )或向下(0<b )平移b 个单位,得到函数()sin y x b ωϕ=A ++.(2)函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 的性质:①振幅:A ;②周期:2πωT =;③频率:12f ωπ==T ;④相位:x ωϕ+;⑤初相:ϕ.定义域:R 值域:[],A b A b -++当22x k πωϕπ+=+()k ∈Z 时,max y A b =+; 当22x k πωϕπ+=-()k ∈Z 时,min y A b =-+.周期性:函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA b x A y 是周期函数;周期为ωπ2=T单调性:x ωϕ+在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是增函数;x ωϕ+在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上时是减函数. 对称性:对称中心为(),0k k πϕω-⎛⎫∈Z⎪⎝⎭;对称轴为x ωϕ+()2k k ππ=+∈Z第二章 平面向量1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示.2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作0;零向量的方向是任意的.3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量a 平行的单位向量:||a a e ±=.4、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作b a //;规定0与任何向量平行.5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等.注意:任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。

6、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点: 首尾相接⑵平行四边形法则的特点: 起点相同 ⑶运算性质:①交换律:a b b a +=+;②结合律:()()a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=. ⑷坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++. 7、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--.设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()2121,x x y y AB =--.8、向量数乘运算:⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ①a a λλ=;②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=.⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③()a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算:设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==.9、向量共线定理:向量()0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=.设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()0b b ≠共线.10、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底)11、分点坐标公式:设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ,()22,x y ,当12λP P =PP 时,点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭. 12、平面向量的数量积:⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤.零向量与任一向量的数量积为0.⑵性质:设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=.②当a 与b 同向时,a b a b ⋅=;当a 与b 反向时,a b a b ⋅=-;22a a a a ⋅==或a a a =⋅.③a b a b ⋅≤.⑶运算律:①a b b a ⋅=⋅;②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.⑷坐标运算:设两个非零向量()11,a x y =,()22,b x y =,则1212a b x x y y ⋅=+. 若(),a x y =,则222a x y =+,或2a x y =+ 设()11,a x y =,()22,b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=.设a 、b 都是非零向量,()11,a x y =,()22,b x y =,θ是a 与b 的夹角,则121cos x x a b a bx θ⋅==+.第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式(1)平方关系:1cos sin 22=+αα (2)商数关系:αααcos sin tan =(3)倒数关系:1cot tan =ααααα222tan 1tan sin += ; αα22tan 11cos += 注意: αααtan ,cos ,sin 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切)(βα+S :βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S :βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- )(βα+C :βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C :βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T : βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+)(βα-T : βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-正切和公式:)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-⋅+=+ 3、辅助角公式:⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 222222 (其中ϕ称为辅助角,ϕ的终边过点),(b a ,ab =ϕtan )4、二倍角的正弦、余弦和正切公式: α2S : αααcos sin 22sin =α2C : ααα22sin cos 2cos -=1cos 2sin 2122-=-=ααα2T : ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角公式的常用变形:①、|sin |22cos 1αα=-,|cos |22cos 1αα=+;②、|sin |2cos 2121αα=-, |cos |2cos 2121αα=+③、22sin 1cos sin 21cos sin 22244ααααα-=-=+;ααα2cos sin cos 44=-;降次公式:ααα2sin 21cos sin = 212cos 2122cos 1sin 2+-=-=ααα 5、半角的正弦、余弦和正切公式:2cos 12sinαα-±= ; 2cos 12cos αα+±=, 6、同角三角函数的常见变形:(活用“1”) ① αα22cos 1sin -=; αα2cos 1sin -±=;αα22sin 1cos -=; αα2sin 1cos -±=; ②θθθθθθθ2sin 2cos sin sin cos cot tan 22=+=+,αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±; |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式: ①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=; 2tan12tan 1cos 22ααα+-=; 2tan12tan 2tan 2ααα-=②积化和差公式③和差化积公式。

相关主题