Λ
( 9)
Λ
i r
θ i - m ia λi ) + (R
γ ∑v
i= 1
Λ
i r
(R i - m
i
i a ) = 0
r = 1, …, n γir ・ (R θ i - m ia λi ) + ∑v
i= 1
( 5a )
i a )+
∑m
i= 1
i i r
v
γ
vs
γi
Λ
γ (R ∑ [v
i r i= 1
Λ
δi - m ia δi ) t
f
3
r
=
r = 1, …, n γ (R ∑[ v
i r i= 1
Λ
δ
m a t) +
i
δi
i θ i λi v r (R - m a t ) ]
r = n + 1, …, N ( 9) 表示成如下分块矩阵形式 可将方程 ( 8) 、 EE ER E E α M M u f ( 10) = RE RR R R α M M u f 式中 上标 E 和 R 分别表示与弹性运动和刚体运 动相对应的项。 ( 9) 可知, 两者仅两块的表达式不 比较方程 ( 8) 、 相同, 分别为
a = a =
i
λi
s= n + 1 n
γ uα + ∑v
i s s
N
a t
N
λi
( 7a )
a
i t
∑
i= 1
Λ
γi vr
θ i - m ia λi ) + (R
γir (R i - m i a i ) + ∑[ v
i= 1
Λ
∑
s= 1
vs u s +
γi α
s= n + 1
∑
v su s +
得与一阶自由度 ( 弹性运动自由度) 相对应的系统运 动方程 ( 5a ) v
i= 1
Λ
i r
θ i - m ia λi ) ] r = 1, …, n ( 6) (R
通过式 ( 6) 对传统线性化系统运动方程加以修 正, 同样能获得与一阶完备线性化相等价的系统运 动方程。 此方法可被视为一种建立一阶完备系统运 动方程的新方法。 δi 可进一步展成如下 式 ( 2b ) 中的线性加速度 a 形式
i δir ( 式 ( 2a ) ) , v δ3 阶完备线性化所对应的偏速度 v 表达 r
α
( 8)
∑m
i= 1
i i i r s
vv
γγ
M rs =
r= 1, …, N ; s= 1, …, n
∑m
i= 1
Λ
i
δi + v i v γirv γi (v s r s]
r= 1, …, N ; s= n + 1, …, N f r = γ ∑[ v
国家自然科学基金资助项目 ( 编号: 19832040) 收稿日期: 2002203207; 修改稿收到日期: 2002209209
第2期
王建明等: 刚柔耦合系统动力学建模新方法
195
利用 Kane 方程可得到系统如下形式的非线性 方程
自由度) 相对应的系统运动方程。 即方程 ( 3) 与方程 ( 5) 当 r 取 n + 1, …, N 时的结果是一致的。
i= 1
Λ
i r
δi - m ia δit ) + v ir (R θ - m ia it ) ] (R
式中遗漏与变形广义速率 u 1 , …, u n 有关的 v ir 项。 将式 ( 4 ) 和式 ( 2b ) 代入式 ( 1 ) 得传统线性化的 系统运动方程式 γ ∑v
i= 1
r = 1, …, N 同理, 将式 ( 7) 代入方程 ( 5) , 经整理可得矩阵形 式的传统线性化系统运动方程 3 α 3 M u= f 式中
刘又午
( 天津大学机械工程学院 天津, 300072)
摘 要 作高速大范围运动的机械系统, 由于运动和变形的耦合将产生动力刚化现象, 传统动力学理论难以计及 这种影响。 通过 Kane 方程在保证变形广义坐标完全精确到一阶项的前提下建立了系统一阶完备动力学方程。 通过 与传统动力学方程的对比分析, 揭示了传统建模方法不仅遗失了动力刚度项, 同时遗失了某些刚柔耦合惯性项。本 文提出了一种通过对传统非完备动力学方程的修正以获得一阶完备动力学方程的新方法。 关键词: 动力学方程; 刚柔耦合; 动力刚化; Kane 方程 中图分类号: TH 113. 22; O 322
矩阵 G 即所谓的动力刚度矩阵, 其元素仅与刚 体运动广义坐标 qR ( qn+ 1 , …, qN ) , 刚体运动广义速 率 uR ( u n+ 1 , …, uN ) 及时间 t 有关。 当系统的刚体运 动被给定, 即 n = N 时, 动力刚度矩阵 G 仅为时间的 函数。 利用修正项式 ( 6) 也可得到式 ( 11 ) 中一阶完备 方程较之传统线性化方程所增加的项。
= f
f
3 E
+
∑v
i= 1
θ i - m ia λit ) = (R
( 11b )
3 E
+ G q E r = 1, …, n
Λ
式 ( 11b ) 中, G 为 n ×n 阶矩阵, 可表示为
G rs =
∑
i= 1 R
5vir 5qs
R
θ i - m ia λit ) = (R
( 12)
G rs ( q , u , t) r , s = 1, …, n
i r i i= 1
Λ
m
i
r = 1, …, N ; s = 1, …, n
M
3
θ i- m ia λi ) ]= 0 r = n + 1, …, N ( 5b ) v ir (R 比较方程 ( 3) 和方程 ( 5) 可得如下分析结论: ( 1) 传统线性化不影响运动方程的零阶项 ( 方程 中的第一个和式) , 即刚体运动项。 ( 2) 传统线性化不影响与零阶自由度 ( 刚体运动
( 3) 由于传统线性化方法的过早线性化处理, 使
∑v
i= 1 i r
Λ
i r
(R i - m i a i ) = 0 r = 1, …, N
( 1)
式中 v 为 i 质点第 r 个偏速度, 定义为 5vi 5u r; R i i 为作用在质点 i 上的主动力; m i、 a 分别为质点 i 的 质量和加速度。 i i i vr 和 R 、 a 相对变形广义坐标和广义速率的线 性化形式为 δi i λi vr = v r + vr r = 1, …, N ( 2) δi θi i δi λi i R = R + R;a = a + a 将式 ( 2) 代入式 ( 1) , 并忽略变形广义坐标和广 义速率的二阶小量, 得到相对变形广义坐标和广义 速率的线性化形式的系统运动方程, 即所谓系统一 阶完备的运动方程
1 一阶完备线性化与传统线性化建模
过程的对比分析
首先给出文中相关术语及符号的定义: 系统的 刚体大范围运动和弹性运动分别被称为零阶运动和 一阶运动, 相应的广义坐标和广义速率项分别被称 为零阶项和一阶项。 用上标符 “∧” 表示相应量相对 广义坐标和广义速率的线性表达形式, 用上标符 “- ” 表示相应量的零阶项, 用上标符 “∪” 表示相应 量的一阶项。 设系统 S 由 Λ 个质点组成, 运动自由度为 N , 则系统的运动可由如下 2N 个标量表示, 即 N 个广 义坐标 q1 , …, qN 和 N 个广义速率 u 1 , …, uN 。 假设 前 n 个广义坐标和广义速率对应弹性运动的广义坐 标和广义速率。
i
α
( 7b )
θ i - m ia λi ) ] = 0 r = 1, …, N v ir (R
( 3)
λit、a it 均为与广义速率的时间导数无关的加 式中 a 速度项。 将式 ( 7) 代入方程 ( 3 ) , 经整理可得矩阵形式的 一阶完备系统运动方程 式中
Mu= f
Λ
上式中的第一个和式对应零阶项, 表示系统的刚 体运动; 第二个和式对应一阶项, 表示系统的变形运 动。 以上系统运动方程式 ( 3 ) 是在获得一阶精确偏 速度式 ( 2) 基础上得到的, 而得到一阶精确偏速度的 前提是需将系统的变形场表示为变形广义坐标二阶 小量形式[ 6～ 7 ]。如按传统的假设模态法或有限元法, 即将系统的变形场表示为变形广义坐标的线性组合 形式, 由此得到的系统偏速度表达式 γi vr r = 1, …, n δ 3 i ( 4) vr = γ i i vr + v r r = n + 1, …, N i δ3 比较传统线性化方法所得到的偏速度 v 和一 r
M
ER
图 1 运动基础上的悬臂梁
= M
3 ER
+
Λ
∑m
i= 1 i r
Λ
i
v
i r
γi vs
( 11a )
θ= 8 Ξ Ξ1
( 14)
r = 1, …, n; s = n + 1, …, N f
E
式中 Ξ1 为该梁的一阶固有频率, Ξ1 = 3. 925 rad s。 分别取无量纲转速为 0. 2、 0. 6、 0. 8、 1. 0 进行仿 真计算, 计算结果如图 2 所示, 图中的实线和虚线分 别对应一阶完备模型和传统线性化模型计算结果。 θ ≤0. 2 时, 由图 2 可以看出, 当构件作低速转动, 即 Ξ 两种模型的仿真结果差别不大, 说明传统线性化建 模理论可适应低速条件下的动力学分析。 随着转速 的增加, 不计动力刚化的分析误差将逐渐加大。 当