说明：所有答案写在答题纸上，写在本试题上视为无效。填空题答案前标出小标号，例如①. 一．填空题（每空2分，共20分） 1. 设52102,021,1120xA 则||||x ① ，1||||A ② ，cond(A) ③ . 2. 设函数2(),fxx 则范数[0,1]||||Cf ④ ，范数2(0,1)||||Lf ⑤ . 3. 设12{,,,,}neee是Hilbert空间H中的规范正交系，12span{,,,}nMeee，则对于xH，x在M中的正交投影是 ⑥ . 4. 设()1xfxxe，则求()0fx的根的Newton迭代格式为 ⑦ ．

5. 设矩阵2101202Aaa，当a取值范围是 ⑧ 时，A有唯一cholesky分解TLL. 6. 设()nTx为切比雪夫多项式，则当nm时，112()()1nmTxTxdxx ⑨ . 7. 线性方程组Axb的系数矩阵A为对称正定矩阵，则解此方程组的SOR迭代方法收敛的充分必要条件是松弛因子

满足 ⑩ .

二 .（10分）设函数1(),()[,]fxgxCab，若定义 (1)(,)()()bafgfxgxdx, (2)(,)()()()()bafgfxgxdxfaga, 问它们是否构成内积？说明理由.

三．（10分）设0,2fxC，确定,,,ABC 使得求积公式

20()(0)(1)(2)xfxdxAfBfCf 的代数精度尽可能高，并确定代数精度.

四．（10分）用如下11个节点的复化Simpson公式计算积分121xIedx的近似值，并估计截断误差. ix 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

1ixe 2.718282 2.482065 2.300976 2.158106 2.042727 1.947734 1.868246 1.800808 1.742909 1.692685 1.648721 五．（10分）已知()2xfx的一组数据(见下表)，用二次Lagrange插值法计算0.32的近似值，并估计误差. ix -1 0 1

()ifx 0.5 1 2

六．（10分）已知如下一组实验数据试用最小二乘法求()yfx的二次多项式拟合函数，并估计均方误差.(结果保留小数点后四位) ix 0 0.5 1 1.5 2

iy 1.01 0.24 0 0.26 0.99

七．（14分）已知三对角矩阵2100513108,,01411300153Ab （1）试问矩阵A能分解成TALDL吗? 说明理由.其中 1223344

11,11dcdLDcdcd



（2）若可以，请写出A的TLDL分解式，并用该分解求解.Axb

八．（16分）设1001,1001aaaaAaaaa （1）计算Jacobi迭代和G-S迭代矩阵的谱半径； （2）当14a时，Jacobi迭代和G-S迭代是否收敛？若都收敛，哪种迭代法收敛得快？ 答 案 一． 填空题 1、① 5 ② 5 ③6.6

2、④ 1 ⑤33

3、⑥1(,)niiixee 4、⑦11kxkkkkxexxx 5、⑧||<3a 或 -33a 或 (3,3)a 6、⑨ 0 7、⑩ 02

二． 答：1.不构成内积，举反例说明. 2.按定义(,)fg构成内积

验证：（1）正定性 22(,)()()0bafffxdxfa 而()0()(,)0()0()0fxfxcfffxfa （2）共轭对称性 由于(,)()()()()bafgfxgxdxfaga

而(,)()()()()bagfgxfxdxgafa ()()()()bagxfxdxgafa()()()()bafxgxdxfaga

所以 (,)(,)fggf. （3）第一变元线性性 121212(,)()()baffgffgdxffaga

1212()()()()bafgfgdxfagafaga 12(,)(,)fgfg 综上，按定义(,)fg构成内积. 三． 解：设求积公式至少满足二次代数精度，则有方程组 20220232220;012;012;xdxABCxdxABCxdxABC求此方程组得 04323ABC 则求积公式为 2042()(1)(2);33xfxdxff

当3()fxx时，522053，所以该求积公式是二次代数精度的。

四．解：5,0.1,mh求积节点为10.1(0,1,...,10)kxkk，故用Simpson公式计算积分，得212115421/1/21110.1(42)2.0200773iixxxiiedxeeee， 截断误差估计44(4)

1221(0.1)|R|(0.1)max|()|198.430.00011180180sxfx



五．解：插值多项式为 22

(0)(1)(1)(1)(1)(0)()0.512(10)(11)(01)(01)(11)(10)0.250.751xxxxxxpxxx





0.322(0.3)1.2475p

又30.3()2(ln2)2xfx，311max|()|2(ln2)0.6660,xfx 所以0.320.6660|2(0.3)||(0.31)(0.30)(0.31)|0.030303!p

六．解：设二次多项式函数

2012()sxaaxax

。

记2012=1,xx，，并取权1(1~5)ii，计算得 5552

00102011455520111211115552222021222111(,)115,(,)15,(,)17.5,(,)15,(,)7.5,(,)12.5,(,)17.5,(,)12.5,(,)2iiiii

iiiiiiii

iiiiiiii

xxxxxxxxxxxx55520121112.125,(,)12.5,(,)2.49,(,)4.6075,iiiiiiiifyfyxfyx 法方程组为 012

5 5 7.52.55 7.5 12.52.49.7.5 12.5 22.1254.6075aaa

解得0121.0054,2.0097,1.0029.aaa 故二次拟合多项式为 2()1.00542.00971.0029sxxx

均方误差 5221[()()]iiifxsx

七．解：（1）答：A可以分解为TALDL 由于A是三对角占优矩阵，因此A可唯一分解为 1223344

1111111ucuALUcucu



又验证知A是对称正定矩阵，所以A可唯一分解为

11

222

333

44

11111111Tdc

cdc

ALDLcdccd





（2） 直接分解得TALDL，其中 12151

22

,21815558511818LD

，解为21.30x 八．解：1. 设Jacobi,G-S迭代法的迭代矩阵分别为12,,BB则1112(),().BDLUBDLU

12

00000det()00000000(2)(2)aaaaaaaaaaaaIBaaaaaaaaaaaa





1,23410,2,2()|2|.aaBa

112det()det(())det()det(()).IBIDLUDLDLU

下面考虑det(()).DLU



000000det(())00000000aaaaaaaaaaDLUaaaaaaaaaaaa



320000(4)0aaaaaaa

221,2,3420,4()4aBa

2. 当14a时, 11()1,2B 所以Jacobi迭代收敛；

21()1,4B所以G-S迭代也收敛；

并且G-S迭代比Jacobi迭代收敛得快。