河海大学2016~2017学年第一学期
《数值分析》试卷(A)
（供港航16级、交通16级、水文16级等相关专业研究生使用）
2016年12月 18 日
学院 专业班级 学号 姓名 成绩
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 成绩 得分
一．（本题满分共24分）填空题
1. 3.1415作为π的近似值，有
位有效数字。

2．设)(x l i )...,,2,1,0(n i =是插值基函数，01,,n x x x ⋅⋅⋅为两两互异的节点，则
40
(3)n
i i i x l ==∑ )4(≥n 。

3．计算9)(2-=x x f 的零点的牛顿迭代格式为
；
阶收敛。

4．已知⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=01.11
11A , 则=∞||||A ；=
-1A ;
=
∞)(A Cond ；是
态矩阵。

5．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=0320
A ，则=)(A ρ 。

6．计算积分
⎰
9
1
)(dx x f , 梯形公式为
；Simpson 公式为；Simpson 公式代数精度为。

二．（8分）
1. 计算圆面积的相对误差限为1%，问半径R 所允许的相对误差限是多少？
2. 求次数小于等于3的多项式，使满足条件
4)2(,2)2(,2)1(,1)1(='=='=P P P P
三．（8分）用改进的Euler 方法解初值问题
101
)0(2
2≤≤⎩⎨
⎧=+='x y y x y
取步长1.0=h ，计算到2y （计算过程中保留到小数点后两位）。

四.(8分)
当x =1, -1, 2 时，f (x )=3, 4, 6, 求f (x )的二次Lagrang 插值多项式和Newton 插值多项式。

五．（8分）已知实验数据
x
1 2
3 4 y
e 2
e 2.5
e e 1.5
求bx
y ae 的经验公式。

六．（8分）用龙贝格算法计算积分
⎰
+3
21dx x x （要求二分三次，每次计算
保留到小数点后两位）。

七．（10分）用Doolittle 分解解方程组。

⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---6151511
11381332
1321x x x
的解，并计算系数矩阵行列式。

八．（8分）设线性方程组为
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++-=++3
10322024-12
25321
321321x x x x x x x x x
1) 分别写出解此方程组的Jacobi ，G-S ，SOR （取ω>0.5）的迭代公式。

给定
初值)1,1,1(),,()0(3)0(2)0(1=x x x ，分别计算),,()
1(3)1(2)1(1x x x 。

2) 判断用Jacobi, G-S 解此方程组的收敛性，并说明理由。

九．（10分）
设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛=13
3364
-34-3
A ，取），，（11100==u v , 用规范幂法计算到，，22u v 并求A 的按模最大特征值和相应特征向量。

十．（8分）用迭代公式32
11k k x x +=+解方程0123=--x x 的根，判断此公式
在区间[1.3, 1.6]上的收敛性，并说明理由。