二次函数（第1课时）1内容简析“二次函数的概念”是本章的第一课时，是一节概念课，数学概念是建构数学理论大厦的基石，是学生进行数学思维的核心，因此概念教学耀格外的重视，把教学目标确定为对概念的理解和表达式的掌握，符合课标要求．此外，把观察、类比、猜想等思想方法和分析、综合、抽象、概括等思维能力的培养作为教学目标，符合知识发展规律和学生认知水平、能力培养要求．2 教学目标教学目标：1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.2. 会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围.3.经历对实际问题情境分析，引导学生观察、类比、归纳等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等思维能力；3 教学重难点重点：二次函数的概念，经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

难点：确定问题中二次函数的关系式；4 教学过程设计4.1预习导航知识准备：（１）一元二次方程的一般形式是什么？（发挥学生积极性，请学生回答。

）（２）回忆学过的正比例函数、一次函数、反比例函数的一般形式又是怎样的？提出问题（展示交流）1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是_______________________.2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为____________________.3．要给一个边长为x (m )的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是___________________________.4.2 归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？【设计意图】以复习的方式把学生的思路引导函数大家庭中，暗示寻找新的家庭成员，培养学生的求知欲。

“复习”不是单纯对知识的回顾，而是通过对知识产生过程的反思，通过对一次函数、反比例函数表达式的回顾、比较，体会不同函数形式与函数名称之间的区别，为本节课二次函数概念的类比教学打下坚实的基础．5 课堂探索与展示：5.1 自觉思考你对“二次函数”这个课题有什么感到好奇的地方？说出你想提出的问题！在这节课中，我们首先要关注什么问题？(1)二次函数的概念；(2)二次函数关系式的简单应用；2．唤醒已有知识和经验：（1）看到函数你会想到什么数学知识？一次函数：形如y=kx+b （k ≠0，k 、b 为常数）反比例函数：形如 y= （k ≠0，k 为常数）k x……（2）看到二次你会想到什么数学知识？一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数） ……（3）猜想一次函数：形如y=kx+b （k ≠0，k 、b 为常数）反比例函数：形如y= （k ≠0，k 为常数） k x一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数）猜想：根据已有的知识和经验，我们应该怎样给二次函数下定义呢？5.2 自主探究（一）自主探究题写出下列函数关系式，将函数解析式改写成按自变量的降幂排列的形式，并写出自变量的取值范围.1. 圆的面积S 与半径r 之间函数关系式。

并求出自变量的取值范围。

2．圆的半径为3cm ，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到s(cm2)，写出s 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围。

3．某药品10月份的价格为30元/盒，如果11、12月的价格下降率都为p （根据市行情每次的下降率不会超过30％），试写出12月份该药品的价格w （元/盒）与p 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围。

4．一面长比宽之比为2:1的长方形镜子，四周镶有边框（边框宽不计）.已知镜面的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，加工费为45元，设镜面宽为x 米，则总费用y （元）与镜面宽x （米）之间有何函数关系？并求出自变量的取值范围。

解答：（1） S=πr2 (r ＞0)（2）S=πx2+6πx+9π （x ≥0）（3）w=30p2-60p+30（0≤p ≤30％）（4）y=240x2+180x+45 (r ＞0)【设计意图】用生活中的事例设置生动的问题情境，贴近学生的生活，能让学生体会数学源于生活实践，并且源于生活又反过来服务于生活实践的意义，能调动学生学习数学的积极性；学生用已有的知识和经验能顺利解决问题，这样简洁明快的问题情景直接，效果好，让学生直接对概念有好的认识。

（二）观察、类比、归纳观察下列函数关系式：S=πx 2+6πx+9π w=30p 2-60p+30 y=240x 2+180x+45类比分析：这些函数关系式有哪些共同特征？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？归纳：你能用一个一般的关系式来概括它们吗？y=ax2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 为常数）一般地，形如y ＝ax2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0)的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数。

【设计意图】观察、类比归纳二次函数表达式，与一次函数、反比例函数的表达式进行类比发现它们之间的联系（都是函数）和区别（指数不同），再利用学生已有一次函数、反比例函数概念的有关知识建立二次函数的概念，体验二次函数概念的必要性和合理性，这种自发形成概念的方式，是尊重学生主体地位、强化学生主体意识的体现。

通过实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础。

5.3 自觉内化1．概念强化一般地，形如y ＝ax2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，且a ≠0)的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数注意：（1）一般地，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的自变量x 可以是任意实数；（2）在实际问题中，其自变量的取值是有一定的范围,不能使实际问题失去意义。

2．概念辨析判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a 、b 、c 的值.(1) (2) 123-212+=x x y 23)-2(3x x x y +=(3) （4）12312++=x x y 652++=x x y (5) （6） （m 为任意实数）c bx ax y ++=2【归纳总结】判断一个函数是否是二次函数的关键是：（1）等号左边是变量y ，右边是关于自变量x 的整式。

22(1)1y m x =++（2）a,b,c 为常数，且a ≠0。

（3 ）等式的右边最高次数为2次，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。

【设计意图】通过对六个函数关系式的观察、分析，引导学生思考，以归纳的方法提炼、概括它们的本质属性，在对直观、具体问题的体验中感知概念，由知觉到感觉，初步形成感性认识，加深对二次函数一般形式的掌握，为往后的学习做好铺垫，为建立概念打下了坚实的基础．5.4 概念理解例题：已知函数 是二次函数，求m 的值，并写出这个二次函数的解析式.解：∵函数 是二次函数， ∴m2-7=2，m2=9，∴m1=3，m2=-3， 又∵m-3≠0，∴m ≠3， ∴m=-3。

当m=-3时，y=-6x2-2x+7。

【设计意图】初步形成的概念，易受相近概念的干扰，利用变式训练，有助于纠正学生的思维偏差．学生通过对例题和练习的训练。

5.5 变式引领问题：如图，用50m 长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，试写出矩形花园的面积y （m2）与边长x （m ）之间的函数关系式。

分析： y=x(25-)=-+25x （0＜x ＜50）x 2x22问题：如图，用50m 长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，试写出矩形花园的面积y （m2）与边长x （m ）之间的函数关系式。

怎样求自变量的取值范围呢？图形变式1： 用50m 长的护栏围成一块靠墙的如图所示的矩形花园，试写出矩形花园的面积y （m2）与边长x （m ）之间的函数关系式。

12)1()3(72+-++-=-m x m x m y m 12)1()3(72+-++-=-m x m x m ym分析：y=x=-+x （0＜x ＜25）50-2x 4x22252归纳总结：数学思想：类比思想策略变式2： 如图，用50m 长的护栏围成一块靠墙的矩形花园，若要使围成的矩形面积y （m2）最大，请尝试求出x的长度。

【设计意图】通过对图形、策略变式对二次函数概念进行多角度、多方位的辨析，揭示二次函数概念的本质属性，正确理解概念的内涵，把握概念的外延，做好概念的内化和同化，使学生能进一步巩固和理解概念．5.6 小组合作，拓展延伸如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A=90º，AB=8cm,AC=6cm ．若动点D 从B 点出发，沿线段BA 运动到点A 为止，运动速度为2cm/s ．过D 点作DE ∥BC 交AC 于E 点，设动点D 运动的时间为xs ，AE 的长为y(cm)．（1）求出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当⊿BDE 的面积S 最大时，求出x 的值。

分析：（1）∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC ∴=,∴AD AB AE AC =∴y=-x+6 （0≤x ≤4）8-2x 8y 632（2）S= = =∵（x-2）2≥0，∴当x=2时，面积S 最大， 其最大面积是6cm2。

)623(221+-⨯x x x x 6232+-6)2(232+--x【设计意图】 通过中考题来充分肯定学生的探究结果，问题的设计起点低，来思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础。

使其树立“我也能发现数学”的信心。

5.7 巩固练习 强化概念1.概念辨析题：下列函数：（1）y=3x2+ +1; (2)y=x2+5; (3)y=(x-3)2-x2; (4)y=1+x- ,属于二次函数的是______________(填序号).【设计意图】这是（1）-（4）道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数2．求解析式：某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头。

后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。

如果养殖场减少x 个，求该地区奶牛总数y （头）与x （个）之间的函数关系式.【设计意图】通过这道题应用题的设置，让学生体会到了二次函数应用的广泛性。

同时，学生在列解析式的过程中，从对比的角度全面了解判断二次函数的方法。

3．证明题：已知y+2x 2=kx(x-3) (k≠2，k 为常数).(1)证明y 是x 的二次函数;(2)当k=-2时,写出y 与x 的函数关系式.【设计意图】通过这道题证明题的设置，熟练函数变量取值对应关系，正确理解函数概念，这加深对二次函数一般形式的掌握，第二问设计的变量取值对应题，目的是让学生正确理解函数概念，熟练掌握自变量与函数值的关系。