其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。

给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。

解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。

∴对P A 描述有 P T P BA B A = ；其中 ),(),(φθx Rot z Rot T AB = 。

9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。

要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。

（3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ；对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ； 所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。

方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ；所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10009010000121002T 。

备注：当建立的相对坐标系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。

（2）、（3）略。

2. 图3-11 给出一个3自由度机械手的机构。

轴1和轴2垂直。

试求其运动方程式。

解：方法1建模：如图3建立各连杆的坐标系。

图3：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表1。

表1：机械手的连杆参数连杆i αi a i d i θ1o 901L1θ2 02L2θ 3 0 0 03θ该3自由度机械手的变换矩阵： 32130A A A T = ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000001000111111111θθθθθθs L c s c L s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000222222222θθθθθθs L c s c L s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000100000033333θθθθc s s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++----+---=1000223232323221211132132132132121211132132132132130θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθs L c c s s s c c s c s L s L c c s s s c s s s s c c s c c L c L s c s c s c c s s c c c c T方法二进行建模：坐标系的建立如图4所示。

图4：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表2。

表2：机械手的连杆参数⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10000100000011111θθθθc s s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10000001000221222θθθθc s L s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000100000332333θθθθc s L s c A ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++----+---=1000223232323221211132132132132121211132132132132130θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθs L c c s s s c c s c s L s L c c s s s c s s s s c c s c c L c L s c s c s c c s s c c c c T3. 图3-12 所示3 自由度机械手，其关节1与关节2相交，而关节2与关节3平行。

图中所示关节均处于零位。

各关节转角的正向均由箭头示出。

指定本机械手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵10T ，21T 和32T 。

解：对于末端执行器而言，因为单独指定了末端执行器的坐标系，则要确定末端执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。

方法1建模：按照方法1进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图5。

图5：机械手的坐标系建立连杆3的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。

机械手的D-H 参数值见表3。

表3：机械手的连杆参数连杆i αi a i d i θ1 o 9021L L + 1θ 20 3L2θ 30 4L0 3θ末端执行器4θ注：关节变量 04321====θθθθ 。

将表3中的参数带入得到各变换矩阵分别为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=1000010010000012110L L T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010********321L T ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001432L T ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000010*********3末T方法2建模：按照方法2进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。

图6：机械手的坐标系建立3自由度机械手的D-H 参数值见表4。

表4：机械手的连杆参数连杆1-i α 1-i a i d i θ1 00 21L L + 1θ 2o 902θ 30 3L0 3θ末端执行器4L 04θ注：关节变量 04321====θθθθ 。

将表4中的参数带入得到各变换矩阵分别为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=1000100001000012110L L T ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100000100100000121T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001000010001332L T ； ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000100001000143L T 末1. 已知坐标系}C {对基座标系的变换为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000000131004010C ；对于基座标系的微分平移分量分别为沿X 轴移动0.5，沿Y 轴移动0，沿Z 轴移动1；微分旋转分量分别为0.1，0.2和0。

（1） 求相应的微分变换；（2） 求对应于坐标系}C {的等效微分平移与旋转。

解：（1）对基座标系的微分平移：T d ]1,0,5.0[=；对基座标系的微分旋转： T ]0,2.0,1.0[=δ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∆0000101.02.001.0005.02.000； 相应的微分变换：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∆=00005.01.02.000001.05.0002.0c dc （2）由相对变换C 可知n 、o 、a 、p ，5.0))((=+⨯⋅=d p n d x cδ；5.0))((=+⨯⋅=d p o d y c δ；0))((=+⨯⋅=d p a d z c δ0=⋅=δδn x c；1.0=⋅=δδo y c ；2.0=⋅=δδa z c对应于坐标系}{C 的等效微分平移：]0;5.0;5.0[=d c ；微分旋转：]2.0;1.0;0[=δc 。

2. 试求图3.11所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端上，其姿态与第三关节的姿态一样。

解:设第3个连杆长度为3L 。

1）使用方法1建模，末端执行器的坐标系与连杆3的坐标系重合，使用微分变换法。

图7：机械手的坐标系建立表5：D-H 参数表连杆i αi a i d i θ1 o 901L 0 1θ 22L2θ 3 0 03θ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=100001000)()(0)()(22323222323231θθθθθθθθθθs L c s c L s c T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10001000000333332θθθθc s s c T ； E T =33； 由上式求得雅可比矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11000000000000003232θθc L s L J T；2）使用方法2建模，使用微分变换法。

图8：机械手的坐标系建立表6：D-H 参数表连杆1-i α 1-i a i d i θ1 00 0 1θ 2o 901L2θ 3 02L3θ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++-+=10000)()(01000)()(223232221323231θθθθθθθθθθs L c s c L L s c T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100001000003323332θθθθc s L s c T ；E T =33；由上式求得雅可比矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=11000)(00)(00000032322213232θθθθθθθc s c L L c L s L J T；。