VRPTW problem solving multiobjective fuzzy preference ant colony algorithm
LI Shiwei，WANG Jianqiang，ZENG Junwei
（ School of Traffic ＆ Transportation，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070 ，China）
收稿日期： 2011-05-07 ； 修回日期： 2011-06-11 （ 096RJZA088 ）
基金项目： 国家社会科学基金资助项目（ 08XTQ010 ） ； 甘肃省自然科学基金资助项目
作者简介： 李世威（ 1981-） ， 男， 甘肃白银人， 讲师， 硕士， 主要研究方向为数据挖掘、 决策分析（ lst9647@ 126． com） ； 王建强（ 1980-） ， 男， 讲师， 硕 士， 主要研究方向为数据挖掘 、 信息处理； 曾俊伟（ 1982-） ， 男， 讲师， 硕士， 主要研究方向为数据挖掘、 决策分析．
Abstract： By analyzing the multiobjective vehicle routing problem with time window，it fuzzy evaluated multiattributes of each objective，combined the comprehensive views of the relevant decisionmakers，and transferred discrete levels of objective’ s attributes to integrated levels． After that，it defined a fuzzy integrated index to determine each objective sorting weight， and determined the multiobjective fuzzy fitness function of vehicle routing problem with time window base on objective ’ s weights and standardized objective function value． Then it used maxmin ant system algorithm to solve the problem． Finally， it s effectiveness． used a case to illustrate the algorithm’ Key words： vehicle routing problem（ VRP） ； time window； multiobjectives； fuzzy utility； fuzzy evaluation； ant colony almin ant system gorithm； max-
将决策者对目标属性的离散意见转换为对各目标的综合意见； 通过定 意见以及决策者自身对专家意见的偏好， 义一种模糊综合排序指标来确定决策者对各目标的偏好权重， 依据目标权重和各目标函数的规范化处理值， 构 建评价有时间窗的车辆路径问题的多目标模糊综合适应度函数； 采用最大—最小蚂蚁系统算法对该问题进行求 解； 最后通过一个算例来说明该算法的有效性。 关键词： 车辆路径问题； 时间窗； 多目标； 模糊效用； 模糊评价； 蚁群算法； 最大—最小蚂蚁系统 中图分类号： TP301 文献标志码： A 文章编号： 1001-3695 （ 2011 ） 12-4495-05 doi： 10． 3969 / j． issn． 10013695． 2011． 12． 025
1985 年， Savelsbergh 证明了 VRP 是一个 NP 难题， 很难求 得问题的最优解； 1999 年 Bullnheimer 等人首先将蚁群算法的 思想用于求解车辆路径问题， 设计了一种改进的蚁群算法求解 车辆路径问题； 我国的马良、 范炳全等人提出了车辆路径问题 的蚁群搜索算法， 进一步扩展了蚁群算法在车辆路径问题中的
其中： β（ 0 ≤β≤1 ） 是预先设定的一个权值， 它反映了均值和方 通常取 β = 0 ． 5 。 差在模糊排序中的相对重要性， j） 根据各目标模糊排序指标函数值 F （ 珟 A' i ） ， 对其进行归 一化处理后， 得到决策者目标偏好权重为
珟 珟 ωO i = F （ A ' i ） / ∑ F （ A '） （ 10 ）
m2 2
+
m2 3
－ m1 m2 － m1 m3 － m2 m3 ） / 18
i） 计算各目标模糊排序指标函数值 F （ 珟 A' i ） ， 根据三角模 珟 可得各目标模糊排序指标函数值计算 糊数 A' i 的均值和方差， 公式为
F（ 珟 A' i ） = β mean（ 珟 A' i ） + （ 1 － β ） （ 1 － σ（ 珟 A' i ） ） （ 9）
第 28 卷第 12 期 2011 年 12 月
计 算 机 应 用 研 究 Application Research of Computers
Vol． 28 No． 12 Dec． 2011
* 求解 VRPTW 问题的多目标模糊偏好蚁群算法
李世威，王建强，曾俊伟
（ 兰州交通大学 交通运输学院，兰州 730070 ） 摘 要： 通过分析多目标的、 有时间窗的车辆路径问题， 对各个目标进行多属性模糊评判， 结合相关专家的综合
基本车辆路径问题（ VRP） 只是已知 n 个客户的位置坐标 和货物需求， 在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下， 每辆车都从起点出发， 完成若干客户点的运送任务后再回到起 点， 要求以最少的车辆数、 最小的总行程完成货物的派送任务 。 从本质上说 TSP 是 VRP 的基本问题
［1 ］
蚁群算法是解决 VRPTW 的一个有效途径， 应用。由此可见， 但是这些算法并没有考虑到决策者目标偏好对路径选择的影 响。因此， 本文基于一种多目标模糊综合评价方法， 在决策者 目标偏好的基础上， 采用改进的蚁群算法寻找在满足多目标情 况下的 VRPTW 最优方案。
h） 计算相应目标函数偏好的均值和方差 。 根据三角模糊 珟的均值 mean（ M 珟 珟 ） 和方差 σ2 （ M ） 的定义， 可得三角模糊数 数M 的均值和方差近似计算式为
珟 mean（ M ） = （ m1 + m2 + m3 ） / 3 珟 ） =（ σ （M
2
（ 7） （ 8）
m2 1
+
［2 ］
1
多目标 VRPTW 模糊综合评价
现实中车辆路径优化问题都是多目标问题， 存在多个彼此
冲突的目标。如何获取这些目标的协同最优解， 一直是学术界 和工程界关注的焦点。多目标优化的本质在于对各目标进行 协调权衡和折中处理， 使所有目标函数尽可能达到最优， 而问 题的最优解是由数量众多 、 甚至无穷大的 Pareto 解组成。 如何 从庞大的 Pareto 解集中搜寻到让决策者满意的方案， 成为多目 标优化问题的一个主要发展方向
［3 ］
。为了避免在庞大的 Pare-
。
to 解集中寻优的困难， 本文基于模糊多属性决策的基本原理构 建评价多目标问题的综合适应度函数， 将多目标问题转换为单 目标问题。 当决策者面对一个多目标问题时， 通常根据个人经验， 通 过比较给定目标属性的模糊评价值， 采用模糊多属性决策的基 本原理， 将这些模糊评价信息转换为决策者目标偏好权重， 从
k） 对各目标值 f i 进行规范化处理。 如果是成本型目标， 则规范化后的目标值为
fi ' = f max － fi 如果是收益型目标， 则规范化后的目标值为
fi ' = f i － f min i max f i － f min i （ 12 ）
。
有时 间 窗 的 车 辆 路 径 问 题 （ vehicle routing problem with time window， VRPTW） 更贴近实际的配送问题 。 该问题可以概 括为： 已知 n 个货物需求点（ 客户） 的位置和需求量， 用多个车 辆从中心仓库（ 或配送中心） 配送货物到达这批需求点， 要求 如果车辆提前到达了客 必须在它的时间窗内为每个客户服务， 户所在地， 也必须等待， 直到允许为该客户服务为止 。 每辆车 载重量一定， 每条线路不得超过车辆载重量， 每个需求点的需 求必须且只能由一辆车辆来提供， 目标是最小化总体车辆配送 时间、 总体车辆行驶距离和所需的车辆数目 。很明显它是一个 多目标问题
I
g） 采用模糊加权平均法计算各目标函数的模糊综合效用 珟 珟和 矩阵A'。在此需要引入三角模糊数的广义加法运算： 设 M 珟 珟 = （ m1 ， 珟 N 为两个三角模糊数， M m2 ， m3 ） ， N = （ n1 ， n2 ， n3 ） ， 则广 义加法运算定义为
珟 M N = （ m1 + n 1 ， m2 + n 2 ， m3 + n 3 ） 珟 （ 6）
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计 算 机 应 用 研 究
（ n3 － n2 ） + n2 （ m3 － m2 ） 。
第 28 卷
而确定决策者目标偏好的综合适应度函数， 作为判断 Pareto 解 决策者在制定目标决策时， 一 优劣的适值函数。现实情况下， 般都不愿独自作出决策而愿意参考其他人的意见 。 为使该算 法更加符合实际， 加入相关专家意见对多目标排序的影响 。 4， 5］ 本文依据文献［ 的模糊多属性决策方法， 对其决策者 模糊乘法运算和各目标值规范化处理进行修正， 从 权重计算、 而得到一个更加符合现实的目标排序， 进而保证构建多目标模 糊综合适应度函数的正确性 、 客观性和公正性。 该模糊适值函数求解步骤可描述为： a） 获得决策者的模糊评判信息 。 首先针对待研究问题若 干评价指标， 获得决策者对多个目标函数的模糊语言评判信 较差， 息。定义决策者对目标为收益类函数的评价为 P = ｛ 差， 一般， 较好， 好｝ ， 成本类函数的评价为 C = ｛ 高， 较高， 一般， 较 低， 低｝ 。 b） 将决策者的模糊评判信息转换为三角模糊数， 利用语 m2 ， m3 ） ， 将决策 义函数 F（ 收益类指标 / 成本类指标） = （ m1 ， 者的语言指标转换为三角模糊数的形式 。 其中： m1 是区间的 起点值； m2 是区间的中间值； m3 是区间的终点值。 定义语义 1， 1） ， F （ 较好 / 较低） = （ 0． 6 ， 0． 75 ， 函数 F （ 好 / 低） = （ 0． 8 ， 0. 9 ） ， F（ 一般 / 一般） = （ 0． 35 ， 0． 5 ， 0． 65 ） ， F （ 较差 / 较高） = （ 0. 2 ， 0． 35 ， 0． 5 ） ， F（ 差 / 高） = （ 0 ， 0， 0． 2 ） 。 c） 确定决策者权重。决策者在对自身和相关专家进行权 选择影响决策制定的评价指标 index， 根据自身偏好 重分配时， 对这些评价指标的重要程度进行模糊评判， 决策者依据评价指 标对自身和专家在各指标下的影响程度进行模糊评判， 从而得 到一个多指标的模糊决策信息矩阵； 然后将该模糊决策信息矩 阵转换为三角模糊数， 依据模糊多属性方法可以得到一个综合 的带有决策者模糊偏好的决策者权重 。 d） 模糊属性权重的归一化处理 。 设给定的 I 个模糊权重 i = 1， …， I， ω i = （ ω1 i ， ω2 i ， ω3 i ） ， 对给定权重作归一化处理， 以 ω2i 为基准， 先采用线性方法对 ω2i 进行归一化处理， 然后根据 ω2i 的缩放比例对 ω1i 和 ω3i 进行等比例缩放， 从而实现模糊权 重的归一化处理。设归一化后的模糊属性权重为 ω' i = （ ω' 1i ， ω' 2 i ， ω' 3 i ） ， 则有