x 是第 t 代种群中个体，其 rank 值定义为： rank (x ,t )=1+p (t ) p (t )为第t 代种群中所有支配x 的个体数目 适应值(fitness value )分配算法：1、 将所有个体依照 rank 值大小排序分类；2、 利用插值函数给所有个体分配适应值(从 rank1 到rank n * N )，一般采用线性函数3、 适应值共享：rank 值相同的个体拥有相同的适应值，保证后期选择时同一 rank 值的个体概率相同最后采用共享适应值随机选取的方法选择个体进入下一代一种改进的排序机制(ranking scheme )： 向量y a=(y a ,1,,y a ,q )和y b =(y b ,1,,y b ,q )比较分为以下三种情况： k =1,,q -1; i =1,,k ; j =k +1,,q ; (y a ,i g i )(y a ,j g j )i =1,,q ; (y a ,i g i )当 y a 支配 y b 时，选择 y a 3、j =1,,q ; (y a ,j g j )当 y b 支配 y a 时，选择 y b 优点：算法思想容易，效率优良 缺点：算法容易受到小生境的大小影响 理论上给出了参数share 的计算方法 goal vector ： g = (g 1,,g q )1、 2、基本思想：1、初始化种群 Pop2、锦标赛选择机制：随机选取两个个体 x 和 x 和一个 Pop 的子集 CS(Comparison Set)做参照系。

若 x 被 CS 中不少于一个个体支配，而 x 没有被 CS 中任一个体支配，则选择x 。

3、其他情况一律称为死结(Tie )，采用适应度共享机制选择。

个体适应度： f i小生境计数(Niche Count )： m =j Pop Shd (i , j )共享适应度(the shared fitness )： 选择共享适应度较大的个体进入下一代 优点：能够快速找到一些好的非支配最优解域 能够维持一个较长的种群更新期 缺点：需要设置共享参数 需要选择一个适当的锦标赛机制 限制了该算法的实际应用效果 1- 共享函数： Sh (d ) = d share 0,d shared shareNPGA II基本思想：1、初始化种群 Pop2、Pareto 排序：非支配个体 rank=0；其余个体 rank=支配该个体的个体数目3、锦标赛选择机制：种群中任选两个个体 x 和 x ， 若rank (x ) rank ( x ) ，则选择x ； 若是 rank ( x ) =rank ( x ) ，称为死结(Tie )， 采用适应度共享机制选择。

小生境计数(Niche Count )：if d ij share这里的 Pop 只包含当前一代里的个体，在 NPGA 中， 计算m公式中的 Pop 包含当前一代以及已经产生的 属于下一代的所有个体 最后，选择计数较小的个体进入下一代在计算 Niched Count 之前还要对函数值进行标准化：m =if dij shareNSGA和简单的遗传算法的不同点在于 selection operator works ， crossover and mutation operator 是一样的不一样的共享函数：d i , j 表示个体i 和j 之间的距离share 是共享参数，表示小生境的半径小生境计数(Niche Count )： m = Sh d (i , j )最后采用随机余数比例算法选择个体进行重新构造种群的基础 优点：优化目标个数任选 非支配最优解分布均匀 允许存在多个不同的等效解 缺点：计算复杂度过高(O (MN 3)) 不具有精英保留机制 需要预设共享参数shareSh (d i ,j )= 1- 0,if d i ,j shareotherwised i , jNSGA II加入精英保留机制快速非支配排序方法（Fast Nondominated Sorting Approach ）： 支配计数 n p ：支配解 p 的解数量 支配解集 S p ：解 p 支配的解集合1、计算出每一个解的n p 和S p ，第一级非支配解n p = 0 ，单独放入一个集合；2、遍历成员q 和S q ，逐步递减n q ，如果可以减少为 0，将p 放入单独的集合Q ， 构成第二级非支配解；3、重复步骤 2，直到所有成员全部分类完成。

1、计算集合 I 的长度，初始化；2、对每一个目标，利用目标值进行排序；3、赋予边界点（第一个和最后一个）最大值，确保它们不会被剔除；4、循环计算其他点的 crowded distance.I i =I i dis tan ce dis tan ce 其中，I 为非支配集合， I i .m 表示第 m 个目标在第 i 个个体处的目标值，f m max / f m min 分别表示第m 个目标的最大最小函数值值越小，越拥挤Crowded-Comparison Operator ： p i p n j if (i rank j rank ) or ((i rank = j rank ) and (i dis tan ce j dis tan ce ))Replace the sharing function approach in NSGA 可以一定程度上消除一下两点：（1）the sharing function 太过于依赖共享参数，不容易设定（2）the sharing function 时间复杂度达到O （N 2 ）Crowded-comparison Approachminm(I i +1.m - I i -1.算法主循环：1、初始种群P ( size = N )，并利用binary tournament selection, recombination andmutation operators 构建一个子代种群Q ( size = N);2、合并P0和Q0 ，记R0 =P0+Q0第t 代：合并P t和Q t，记R t =P t +Q t 对R t进行非支配分类，结果记作F =(F1,F2,) 循环计算crowded distance of F，并入P 对当前F i进行crowded distance 排序，选择前(N-|P t+1|)个成员并入P t+1，确保|P t+1|= N利用binary tournament selection, recombination and mutation operators 构建Q 进入下一次循环SPEACharacters:a)Storing nondominated solutions externally in a second, continuously updated populationb)Evaluating an individual's fitness dependent on the number of external nondominated points that dominate itc)Preserving population diversity using the Pareto dominance relationshipd)Incorporating a clustering procedure in order to reduce the nondominated set without destroying its characteristicsSteps:1)Generate an initial population P and create the empty external nondominated set P'.2)Copy nondominated member of P to P '.3)Remove solutions within P ' which are covered by any other member of P '.4)If the number of externally stored nondominated solutions exceeds a given maximum N', prune P' by means of clustering.5)Calculate the fitness of each individual in P as well as in P '.6)Select individuals from P+ P ' (multiset union), until the mating pool is filled. In this study, binary tournament selection with replacement is used.7)Apply problem-specific crossover and mutation operators as usual.8)If the maximum number of generations is reached, then stop, else go to Step 2. Fitness Assignment:1) 外部群落i P'赋值s 0,1)，称作strength，和j P的数量成正比，i f j n定义：s =i N + 1适应值f i =s i2)当前群落j Pf j =1+s i, where f 1, N ) .i,i f j其中i P '，适应值加1是为了确保外部群落的个体适应值优于当前群落这里适应值越小，被选中的概率越大(small fitness values correspond to high reproduction probabilities)聚簇缩减：1)Initialize cluster set C; each external nondominated point i P' constitutes a distinct cluster: C= U i i.2)If |C |N', go to Step 5, else go to Step 3.3)Calculate the distance of all possible pairs of clusters. The distance d of two clusters c and c C is given as the average distance between pairs of individuals across the two clustersd =1g || i -i ||d =| c1 |g| c2 |g i1c1,i2c2||i1 - i2 ||where the metric || • || reflects the distance between two individuals i and i (in this study an Euclidean metric on the objective space is used)4)Determine two clusters c and c with minimal distance d; the chosen clusters amalgamate into a larger cluster: C =C \c ,c c c. Go to Step 2. 5)Compute the reduced nondominated set by selecting a representative individual per cluster. We consider the centroid (the point with minimal average distance to all other points in the cluster) as representative solution.优点：SPEA IISPEA 可改进点：1)Fitness Assignment当P' 成员只有一个时，P 中所有成员的适应值都是相同的。