平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角的范围
0 180
（2）经过两点的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。

特别地，
当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。

（2）两条直线垂直
如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1
注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果 l1,l2 中
有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。

二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式
不包括垂直于x 轴的直
线为直线上一定点，k 为斜率
斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式
不包括垂直于x 轴和 y
轴的是直线上两定点
直线
截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线
一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的
直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条
直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条
直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平
行；反之，亦成立。

2.几种距离
（1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用
公式计算
（二）直线的斜率及应用
利用斜率证明三点共线的方法：
已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x
1 x
2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、
C 三点共
1 1
2 2
3 3
线。

注：斜率变化分成两段，
90 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

直线的参数方程
〖例 1〗 已知直线的斜率 k=-cos
( ∈R).求直线的倾斜角
的取值范围。

思路解析： cos 的范围斜率 k 的范围t an 的范围倾斜角 的取值范围。

〖例 2〗设a , b, c 是互不相等的三个实数， 如果
3 3 3
A(a, a )、 B(b,b )、C(c, c ) 在同一直线
上，
求证：
a b c 0
思路解析： 若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

〖例 3〗 已知点 M （ 2，2）， N （5，-2），点 P 在 x 轴上，分别求满足下列条件的
P 点坐标。

（1）∠ MOP= ∠OPN （O 是坐标原点） ； （2）∠ MPN 是直角。

思路解析： ∠MOP=∠OPN OM//PN ，∠ MPN 是直角
MP
NP ，故而可利用两直线平
行和垂直的条件求得。

注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键， 对于斜率都存在且不
重合的两条直线 l 和 l 2 ，。

若有一条
直线 1
的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注
意
〖例4〗求过点
P（2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a、b,且满足
a=3b 的直线方程。

思路解析：对截距是否为0 分类讨
论设出直线方程代入已知条件求解得直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线l1 : A1 x B1 y C1
0 ，
l2 : A2x B2y C2 0，则
（1）
l l A B A B AC A C B C B C
/ / 0且0(或
0) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1
2 2 1
A B C
1 1 1
或记为：( A 、B 、C 不为0).
2 2 2
A B C
2 2 2
（2） l1 / /l2 A1A2 B1B2 0.
（3）l1 与l2 重合A1B2 A2B1 0 且A1C2 A2C1 0 ( 或B1C2 B2C1 0 ) 或记为
A B C
（
A1 B C
1 1
（4）
〖例5〗已知直线l1 : ax 2y 6 0 和直线
2
l2 : x (a 1)y a 1
，（1）试判断
l1与l
2
是否平行；（2） l1 ⊥l
2 时，求a的值。

思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按
l2 的斜率是否存在为分类标准进
行分类讨
论。

〖例6〗已知点P（2，-1）。

（1）求过
P点且与原点距离为 2 的直线l 的方程；
（2）求过
P点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过
P点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说
明
理由。

思路解析：设出直线方程由点到直线距离求参数
判断何时取得最大值并求之。

(三）轴对称
①点关于直线的对称
若两点关于直线l ：Ax+By+C=0 对称，则线段
的
中点在对称轴l 上，而且连接的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
可得到点P1 关于l 对称的点x y
2 , 2
P 的坐标
2 （其中 A 0, x1 x2 ）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相
交
；
二是已知直线与对称轴平行。

〖例 7〗 求直线 l 1 : y 2x 3关于直线 l : y
x 1对称的直线 l 2 的方程。

思路解析： 转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。

练习题
1． 过点（ 1，0）且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是（ ）
（A ）x-2y-1=0
(B)x-2y+1=0
(C)2x+y-2=0
（D ）x+2y-1=0
2．圆 2 2 C x y x y 的圆心到直线 3x 4y 4 0 的距离
d 。

: 2 4 4 0
3．已知圆 C 过点（ 1，0），且圆心在 x 轴上，直线 l : y x 1过圆 C 所截得的弦长为 2 2 ，
则过圆心有与直线 l 垂直的直线的方程为
4．倾斜角为 45 ，在 y 轴上的截距为 1的直线方程是（ ）
A ． x y 1 0
B ． x y 1 0
C ． x y 1 0
D ． x y 1 0
5．过点
M 2,1 的直线 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交
于 P 、Q 两点，且
MQ 2 MP ，
则直线 l 的方程为（ ）
A.x+2y-4=0
B.x-2y=0
C.x-y-1=0
D.x+y-3=0
6．已知过点A( 2, m) 和B (m, 4) 的直线与直线2x y 1 0平行，则m的值为（）A. 0 B. 8 C. 2 D. 10
7．已知 ab 0, bc 0 ，则直线 ax by c 通过（）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限
D. 第二、三、四象限
2 m x m2 m y m
8．若方程(2m 3)( ) 4 1 0表示一条直线，则实数m满足（）
A. m 0
B. m
3
2
C. m 1
D. m 1，
3
m ，m 0
2
9．函数y
2x
e 图像上的点到直线2x y 4 0 距离的最小值是
_
10．若直线l1 : mx y 1
与l2 : x 2y 5 0垂直，则m的值是．
11．一条光线从点A(－1,3)射向 x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B(3,1)，求 P 点的坐标．
12.写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点 A(2,5) ，且与直线y＝2x＋7 平行；
(2)经过点 C(－1，－1)，且与x 轴平行．
13.三角形 ABC 的三个顶点分别为A(0,4) ，B(－2,6)，C(－8,0)．
(1)求边 AC 和 AB 所在直线的方程；
(2)求 AC 边上的中线BD 所在直线的方程；
(3)求 AC 边上的中垂线所在直线的方程．
14.已知直线l1：(m＋3)x＋y－3m＋4＝0，l2：7x＋(5－m)y－8＝0，问当m 为何值时，直线l1 与 l2 平行。